3 SULL'EQUAZIONE DI 5° GRADO 33 
è a tre parametri, dipendendo i rapporti delle radici solo da d’:a’, c:a? e d:a 
perché sono p. es. determinati dal sistema d'equazioni omogenee: 
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do 0, (Er) IS 8a ’ ac 2a 
Saab era due 
Cid si riconosce anche osservando essere 
(e) fero? 
Per valori dati numericamente dei parametri, che trovansi nei coefficienti di 
un'equazione, la medesima rappresenta un gruppo di punti e nella separazione di 
questi consiste la risoluzione dell'equazione. Invece di procedere direttamente a tale 
separazione, si può cercare di conseguirla mediante la preventiva separazione di 
altri punti, o piu generalmente di figure, che siano covarianti dei punti rappresentati 
dall'equazione. In ciò consistono i metodi delle trasformate e delle risolventi. 
Gruppo della monodromia. — Consideriamo un'equazione f (x, Z) = 0, che con- 
tenga l’unico parametro Z. Se Z si muove nel campo complesso, variano le radici, 
ma ritornano le stesse quando Z ripassa per uno stesso punto: ogni singola radice, 
variando con continuità mentre Z percorre un cammino continuo, non riprende neces- 
Sariamente il valore iniziale quando Z ripassa per il valore iniziale, potendo prendere 
invece il valore iniziale di altra radice; le radici riprenderanno dunque i valori 
iniziali, ma permutati generalmente. Siano x, zi, ... le radici in Z e supponiamo 
Che, essendo partito Z da Z, ed essendovi ritornato dopo d'aver percorso un cam- 
mino chiuso, la radice x, sia diventata zu sarà x’, uno dei valori æo, o, ... e Pac- 
cennato cammino avrà prodotta la sostituzione 
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Tutte le sostituzioni delle x prodotte da tutti i possibili cammini chiusi descri- 
vibili da Z nel campo complesso formano un gruppo, che Herurre disse della mono- 
dromia per l'equazione f(x, Z) = 0. 
Supponiamo che il parametro Z entri razionalmente nei coefficienti dell’ equa- 
zione e consideriamo come razionalmente note le funzioni di Z, che siano razionali 
in Z, per cui se vi figurino irrazionalità numeriche, le intenderemo aggiunte al campo 
di razionalità. Il gruppo dell’equazione sarà così quello della monodromia. Infatti, 
sia » l'ordine di questo gruppo e sia P (&,%,...) una funzione razionale delle radici: 
tra o ed il parametro Z esiste un legame algebrico ottenibile eliminando le x dalle 
ef, a... ) = p, fia, Z) = 0, far, Z) —9, ..., 
per cui p, se rimanga inalterata per % delle sostituzioni del gruppo della mono- 
dromia, sarà funzione algebrica di Z ad r:% valori in tutto il campo complesso. Il 
Serre IL Tom. XLVI. E 
