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legame tra p e Z sarà quindi stabilito da un’ equazione algebrica del grado r: k 
in ọ (1). Per l'indicato modo in cui può ottenersi tale equazione, si riconosce subito 
che i suoi eoefficienti saranno razionali in Z e vi potranno figurare sole irrazionalità 
numeriche contenute in f(x, Z) od in @ (m, #1, ...): ne segue che, dopo l'aggiunta 
di tali irrazionalità, q sarà radice d'un'equazione del grado 7: k con coefficienti razio- 
nalmente noti; e tale equazione sarà irriducibile perché, se fosse riducibile, ad ogni 
valore di Z corrisponderebbero meno di r: valori di o, che per cio dovrebbe rima- 
nere inalterata per più di k sostituzioni del gruppo della monodromia: ne segue 
che q sarà razionalmente nota solo se sia k= r. Sono dunque conosciute razional- 
mente tutte e soltanto le funzioni appartenenti al gruppo della monodromia, il quale 
quindi è il gruppo dell'equazione. 
Imagine d'un'equazione. — Se un'equazione contiene m parametri, variando 
essi nel campo complesso, i punti rappresentati dall'equazione generano uno Spazio 
ad m dimensioni, che diremo imagine dell'equazione: esso è invariante per il gruppo 
simmetrico fondamentale. L'imagine p. es. della 
d + ba? + ex + d — 0 
è la quadrica irriducibile X2? — 0. L'imagine della 
a? t'a + ex + d — 0 
è la superficie diagonale di Cresscx (2) Xa? — 0: essa contiene le 15 diagonali dei 
quadrilateri d'intersezione di ciascun piano del pentaedro fondamentale con gli altri 
quattro; si ha infatti che, per essere X = 0, due vertici opposti del quadrilatero 
d’intersezione del piano «,—-0 con gli altri sono dati da 
99:90:99 125: 904::0:0:0:1:— 1, DEE 12:2 ::0:1: — 1:0:0 
e trovansi tutti sulla X4? — 0 i punti della retta, che li congiunge, i quali sono 
dati da 
e Ce e Eege —p:1 — p:p — T. 
Consideriamo ora un'equazione f(x, ) — 0 ad unico parametro Z: ordiniamo le 
permutazioni dei valori, che le radici æ hanno nel punto Zo ed indichiamo con Av il 
punto, che ha per coordinate la v"* di tali permutazioni. Se Z si muove con conti- 
nuità nel piano complesso, il punto (zo 4i...) Si muove con continuità sopra un 
ramo irriducibile dell'imagine; ed inversamente, se il punto muovesi con continuità 
sopra un ramo irriducibile, Z si muove con continuità nel piano complesso: per cio, 
(1) V. p. es. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale. Leipzig, 
1884, p. 122. 
(2) * Math. Annalen ,, 1871, Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution... 
