11 SULL'EQUAZIONE DELLE VIBRAZIONI DELLE PLACCHE ELASTICHE INCASTRATE 75 
Amr. IL. — Sull’integrazione dell'equazione A (Au) = ku. 
1. Principieremo dal dimostrare che i valori eccezionali del parametro k del- 
l'equazione: ` 
(1) A*(A*u) = ku 
non possono essere negativi. 
Seritta infatti l'equazione (1) sotto la forma: 
A*(A*u) — ku — 0 
Si moltiplichi per u e si integri a tutto il campo piano o. Facendo delle integra- 
dom à x i E n E du a 
zioni per parti, coll'avvertenza che nei punti del contorno s le funzioni u e Dx 
annullano, avremo: 
UL | kudo — | v. A*(A*u)do = 
de 
pudo 4 | (dt P An Du du du du du) n 
Ju de + | | SE + w xw 5 ie» Ae è | 20 = 
= | tudo — 
RE PEE VE M ai IVO 
EIERE 
= | {hu — (Au) (do; 
9 questa per k quantità negativa ci dà: 
IRSA) 
in tutti i punti di c. 
Questo risultato dimostra appunto il teorema. 
2. Dimostriamo ancora che i valori eccezionali del parametro k dell'equazione (1) 
non possono essere complessi. 
Per questo supposto: 
— Y t^ 
kW. 
Sarà: 
u — w + iu" 
€ quindi: 
A (Au) + iA (Atu) = IN + iE") (u + iu), 
ossia; 
A? (AN ul) — L'u ra k'u" = 0, 
[ASA Ee Ra MI 
“ti 
