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15. La funzione P si puo sviluppare in una serie di potenze crescenti di k, 
à : | 1 5 
che sarà convergente in egual grado in tutto o per |k| < —;, come l'altra ai. Lo 
stesso sarà allora di (!): 
SP Aus pf. 
e Pi; 
onde potremo scrivere: 
| P = Q + Qué + QE +..., 
(24) 
| pecu DOS SES E SA 
Dalla (23) segue che l'espressione A°(A*P) è sviluppabile in serie di potenze 
di k come la funzione P; così avremo: 
ALAD) = A (AN'Q) + EA (AN'Q) + IPATQN'Q3) T... 
e per conseguenza Ch 
(25) A AHAP) = AN (TQ) + 25. AAR) + 37°. A°(A*Qa) + ..., 
nelle quali le serie ai secondi membri sono convergenti in egual grado in tutto 0, 
finchè |k| < i . Dalla seconda delle (24) si ha poi: 
A (AP) = ALSO + 24. AT (ATQ) + 37°. ATQ) + ...; 
e quindi dalla (25): 
à ALD " 
è AP = A'(A* P). 
La (23) ci dà dunque, finchè | k | < E 
(26) WEE Hee ER De DE D M 
con D = S Similmente, indicando con P", P"', ...; D", D’, ... le derivate 
seconde, terze, ... di P e di D rispetto a k, si avrà: 
| A (A P") = kP” + 2P' + f. D", 
A*(A*p")= kP” + 3P" + f.p, 
(!) Vedi ad es. Pıcarn, Traité d'Analyse; t. Y, cap. VIII, $ 9. 
