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talune mie Note (^ Rend. della R. Acc. dei Lincei ,, serie 5°, vol. IV, 1° sem., 
p. 149-156; “ Rend. di Palermo ,, t. X, pp. 1-15 e 16-29). — In questo lavoro io 
passo quindi allo studio delle varietà algebriche a tre dimensioni (M;) con infinite 
trasformazioni proiettive in sè, e mi occuperd.più specialmente di quelle fra esse 
che sono contenute in uno spazio a quattro dimensioni (S,), che sono cioè rappre- 
sentabili con un'uniea equazione algebrica intera fra cinque variabili omogenee. In 
particolare mi propongo ora di determinare quali varietà M, dello spazio S, ammet- 
tano un gruppo transitivo (quindi almeno co?) di trasformazioni proiettive in se (un 
gruppo tale cioè, che con un'opportuna operazione di esso si possa sempre passare 
da un punto generico della varietà M; ad ogni altro) (). 
2. Ma i metodi che sono seguiti nelle ricerche sulle superficie con co? o più 
trasformazioni proiettive in sè non potrebbero forse riescire altrettanto utili nel 
caso attuale. Nella determinazione dei gruppi proiettivi oo? dello spazio Ss il 
Sig. Enrrques aveva già dovuta escludere (per evitare una soverchia complica- 
zione) la considerazione dei gruppi composti esclusivamente di omografie con punti 
uniti multipli. Io ho mostrato più tardi (^ Rend. Acc. dei Lincei ,, vol. e Nota cit.; 
“ Rend. di Palermo ,, t. X, p. 23 e seg.) che anche la considerazione di questi 
ultimi gruppi non conduce ad altre superficie algebriche, all’ infuori di quelle 
già studiate dal Sig. Exriques, o di talune superficie W (vale a dire superficie 
con OO? trasformazioni proiettive permutabili) che a lui pure si erano presentate per 
altra via. Ma se noi volessimo ora incominciare, seguendo una via analoga a questa, 
lo studio dei gruppi proiettivi co? dello spazio 8,, ci troveremmo ben presto davanti 
a un numero assai grande di casi da esaminare ; e ciò anche senza tener conto della 
maggiore complicazione prodotta sia dalla presenza di punti uniti multipli, dalla cui 
considerazione è per lo meno assai dubbio se qui si potrebbe ancora prescindere ; 
sia dal fatto che un punto unito variabile potrebbe qui descrivere un'intera super- 
ficie, e non soltanto una curva. — Si avverta pure che la determinazione di tutte 
le superficie di S, con cO? trasformazioni proiettive in sè, accennata appena dal 
Sig. Lie nel 3° vol. della sua Theorie der Transformationsgruppen, & stata ora com- 
pletamente eseguita da lui stesso in una Nota (già cit.) inserta nel 2° fasc. dei 
“ Leipziger Berichte , dell'anno 1895 ; ma anche il metodo seguito da quest'illustre 
scienziato, benchè immediatamente estendibile e di riescita sicura, presenta pur sempre 
taluni inconvenienti; esso si riduce, fra le altre, a un puro e lunghissimo lavoro di 
calcolo, e non permette nemmeno di fissare la propria attenzione sopra alcun concetto 
un po’ generale, al quale si possa informare tutta la trattazione; vantaggio que- 
st'ultimo non disprezzabile, che, per altra via, e almeno in parte, noi non disperiamo 
forse di raggiungere. — E nella determinazione delle superficie con almeno co? tras- 
formazioni proiettive in sè, è fondamentale, tanto per il Sig. Lie, quanto per il 
Sig. ENRIQUES, la considerazione delle linee asintotiche sulle superficie stesse; consi- 
(1) E questo infatti il caso più interessante. In ogni altro caso la varietà M; non sarebbe che 
un aggregato di OO! superficie o di OO? curve (razionali le une e le altre) ciascuna delle quali sa- 
rebbe di per sè unita rispetto a tutte le trasformazioni del gruppo proposto. 
