3 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 189 
derazione che si potrebbe fors'anche estendere alle varietà M; di S, assumendo 
come analoghe alle asintotiche le curve determinate dalle direzioni delle tangenti 
quadripunte, ma che non riescirebbe probabilmente altrettanto utile. Si osservi ad es. 
(nel caso in cui tali linee siano rette) che mentre una superficie la quale contenga 
due diversi sistemi cO! di rette è necessariamente una quadrica di S, (ovvero un 
piano) non è noto invece che sussista una proprietà analoga, o almeno altrettanto 
semplice, per una varietà M; contenente un egual numero di sistemi co? di rette. 
3. Noi prenderemo quindi le mosse, in queste ricerche, da considerazioni affatto 
diverse; e precisamente da aleune considerazioni (dovute pure al Sig. Lin) sulla com- 
posizione dei gruppi continui. Sarà per noi fondamentale la distinzione di questi 
gruppi in integrabili e non integrabili. 
Si chiama integrabile (') ogni gruppo continuo oo (6,), nel quale esista tutta 
una serie di sottogruppi G; (i =r — 1, r —2,...2, 1), dipendenti ciascuno da un 
numero di parametri essenziali eguale all'indice i, e tali che ciascuno di essi sia 
contenuto come sottogruppo invariante nel gruppo precedente G;,; (e in particolare 
G,., entro @,). — Allora si può anche dimostrare C) che la stessa serie di sotto- 
gruppi G;, o eventualmente un'altra serie analoga, deve anche esser tale che ogni 
sottogruppo G; risulti invariante non solo entro G, ,, ma entro ogni gruppo G;;, (dove 
l-k-r-i), e in particolare entro G,. 
I gruppi non integrabili saranno pertanto quelli in cui non esiste alcuna serie 
di sottogruppi G; aventi la proprietà ora indicata. 
Un gruppo continuo non integrabile deve contenere almeno tre parametri (essen- 
ziali). I gruppi non integrabili piü semplici ne contengono appunto tre soli; e in 
essi si possono sempre trovare tre trasformazioni infinitesime indipendenti X,f, ) 
X;f, per le quali si abbia : 
(X Xj-—Xf (X; X3) = 2X,f (X; Xi) Kë ER 
Questi gruppi 00° sono semplici (nel senso della teoria dei gruppi) non conten- 
gono cioè alcun sottogruppo invariante. Ne dà un esempio notissimo il gruppo co? delle 
proiettività in una forma semplice (ad es. sulla punteggiata). 
Un teorema che caratterizza ancor più la distinzione fra gruppi integrabili e 
non integrabili è il seguente, dovuto al Sig. Rue, (5: 
` 
Un gruppo continuo à integrabile sempre e solo quando non contiene alcun sotto- 
c9 
gruppo © semplice (avente cioè la composizione testé indicata). I gruppi non inte- 
(1) Lie, Theorie der Transformationsgruppen, vol. III, p. 679; Lie-Scherrers, Vorlesungen über con- 
tinuirliche Gruppen... ; p. 587. La denominazione di gruppo integrabile fu usata per la prima volta 
dal sig. Lig nel 1889 (* Leipz. Ber. ,); ma il concetto di un tal gruppo risale ai primi lavori dello 
Stesso A. sulla teoria generale dei gruppi continui (1874). 
C) Lie-Scuereers, 1. c., p. 537. 
C) Los, Op. cit., vol. III, pp. 718-714; Lir-Scnerrers, Op. cit., p. 572. 
Ë) Kleinere Beiträge zur Gruppentheorie, Il, “ Leipz. Ber. ,, anno 1887, p. 89; Lie, Op. cit, 
vol. III, p. 757. 
