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grabili saranno dunque quelli e quelli soli che contengono (almeno) un sottogruppo co° 
così costituito (o hanno essi stessi questa composizione, se sono precisamente 09°). 
4. Passando adesso dal campo puramente astratto in cui finora siamo rimasti a 
quello concreto (e che a noi più interessa) dei gruppi continui proicttivi, troviamo 
quest'altro teorema, che è anche notevole (°) : 
Ogni gruppo proiettivo integrabile di uno spazio qualunque S, ammette almeno 
un punto unito fisso, una retta unita passante per questo punto, un piano unito per 
questa retta, ecc. e infine un iperpiano (S, X) unito fisso contenente questi vari spazi 
minori. In generale, per ogni S; unito fisso (0 < k< r — 2) passa un Sp del pari 
unito (e vi è sempre almeno un punto, ossia un S, unito, quindi un Si, ecc.) — 
L'inversa di questo teorema è pur vera e quasi evidente. 
Quanto ai gruppi proiettivi non integrabili, importerà anzitutto studiare quelli co, 
perchè questi entrano appunto come sottogruppi in tutti gli altri. E anche per questi 
gruppi œœ si ha un teorema generale, del quale ci occuperemo nel prossimo $. 
Quello che è stato detto finora ci sembra intanto sufficiente per giustificare la 
divisione che intendiamo fare della nostra ricerca in due parti: Varietà M, di S, con 
gruppi integrabili — e varietà con gruppi non integrabili di trasformazioni proiettive 
in sè. Le due questioni parziali verranno studiate con metodi e per vie affatto di- 
verse l'una dall'altra. 
Il caso dei gruppi non integrabili si rivelerà come molto più semplice ed ele- 
gante, nonché breve a trattarsi, e perciò appunto intendiamo dedicare ad esso questo 
primo lavoro. Avremo così occasione di occuparci anche di questioni relative a par- 
ticolari rappresentazioni geometriche delle forme e dei sistemi di forme binarie; 
questioni che si collegano al così detto Principio di trasporto di Hesse (*). In gene- 
rale, vedremo che la ricerca di tutte le varietà algebriche M, di uno spazio qua- 
lunque $, con un gruppo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè, si può 
ricondurre a quella dei sistemi di relazioni invariantive (rispetto a sostituzioni lineari) 
tra i coefficienti di una o più forme binarie, e in particolare la ricerca delle M, , di 
S, a quella degli invarianti (nel senso ordinario) di una forma binaria di grado r e 
degli invarianti simultanei di due o più forme di gradi inferiori (e precisamente di 
gradi tali che, aumentati ciascuno di un’unità, diano per somma r+1). — Si av- 
verta pure che i gruppi (proiettivi) non integrabili sono anche i più importanti (si 
potrebbe anzi dire, i soli importanti) quando si voglia tener d'occhio l’applica zione 
che se ne può fare alla classificazione di talune categorie di equazioni differenziali, 
ad es. delle equazioni differenziali lineari omogenee (con una sola variabile indipen- 
dente), considerando questi stessi gruppi proiettivi, ovvero quelli corrispondenti di 
sostituzioni lineari omogenee, come gruppi di razionalità di altrettante equazioni 
(1) Liz, Op. cit, vol. I, p. 589; vol. III, p. 681; Lue-Scuerrers, Op. cit., p. 532. 
@) “ Journ. de Crelle ,, Bd. 66, pp. 15-21 (1866). Cfr. anche il 8 5 dell'opuscolo (Programmschrift) 
del Komm, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (Erlangen, 1872), ristam- 
pato nel vol. XLIII dei * Math. Ann. „, e tradotto in italiano nel vol. XVII degli “ Annali di Mat. »- 
