5 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 191 
differenziali lineari, secondo le idee svolte in vari lavori del Sig. Prcarp OI e nella 
Dissertazione del Sig. Vessror (%). Ogni qual volta infatti il gruppo di razionalità 
è integrabile, lequazione differenziale : lineare corrispondente risulta integrabile per 
quadrature (). È in cio precisamente, e in proprietà analoghe di altre equazioni diffe- 
renziali (con trasformazioni infinitesime in sè), che sta la ragione del nome di gruppo 
integrabile (*). 
Delle varietà di S; con un gruppo integrabile di trasformazioni proiettive in sè 
conto occuparmi in un altro lavoro, esponendovi, in parte almeno, i risultati che ho 
già ottenuti. Fra le varietà M, con almeno 00° trasformazioni proiettive in sè (che 
corrisponderebbero in certo qual modo alle superficie di S, con 00° trasformazioni 
così fatte) se ne troveranno alcune geometricamente interessanti. Delle M; di S, con 
sole 00° trasformazioni proiettive in sè ho determinati pure tutti i diversi tipi; ma 
dubito assai che l'esposizione completa di questi ultimi possa anche riescire utile e 
interessante. 
UD 
DO 
I gruppi proiettivi semplici tre volte infiniti. 
5. In questo § mi propongo di determinare i diversi tipi di gruppi proiettivi 
semplici 00° di uno spazio qualunque S,. Poichè ogni gruppo non integrabile deve 
contenere (almeno) un sottogruppo © così costituito, è chiaro che le varietà inva- 
rianti rispetto a gruppi proiettivi non integrabili saranno anche tutte invarianti 
rispetto a qualche gruppo (proiettivo) semplice co*. 
Si può riconoscere facilmente () che i soli gruppi proiettivi semplici oo? di uno 
spazio Sr, à quali non mutano in sè nessuno spazio minore S, (0<%k<r 1) conte 
nuto in S, medesimo, sono quelli che trasformano in sè una determinata curva razionale 
normale (di ordine x) di quest'ultimo spazio. — Un tal gruppo contiene infatti co! sotto- 
gruppi 00° fra loro equivalenti (gleichberechtigt), ciascuno dei quali (essendo integra- 
bile) deve ammettere almeno un punto unito fisso. Questo punto varierà però al 
variare del sottogruppo 00° che si considera (essendosi escluso per ipotesi che vi sia 
in S, uno spazio minore Sẹ, e in particolare un S, unito fisso), e assumerà così co! 
Posizioni diverse, luogo delle quali sarà una certa curva C unita rispetto all'intero 
gruppo 00°, Questa curva apparterrà allo spazio S, (non sarà cioè contenuta in uno 
Spazio inferiore), e ogni trasformazione non identica di quel gruppo 00° subordinerà 
su di essa una trasformazione (proiettiva) anche non identica. La curva C ammet- 
() * Compt. Rend. ,, 1883; “ Ann. de Toulouse » 1887; “ Compt. Rend. ,, sedute dell’8 ott. 1894 
e del 2 dicembre 1895. 
C) * Ann. de fe, Norm. Sup. „, t. IX (1892). 
(©) Cfr. Vrssror, L c, p. 241. A quest'ordine di idee si riferiscono anche talune mie Note inserte 
nei “ Rend. dell’Acc. dei Lincei, dell'anno 1895 (serie 5*, vol. IV, 1° sem.). 
C) Lie, Op. cit., vol. III, p. 709. 
C) Cfr. ad es. Lm, Op. cit., vol. III, pp. 187, 758, 785. 
