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terà dunque essa stessa oo? trasformazioni proiettive in sè, e sarà perciò appunto 
una curva razionale normale (di ordine r). 
Viceversa, è anche noto che ogni curva razionale normale di uno spazio S, deter- 
mina un gruppo (semplice) co? di trasformazioni proiettive di questo spazio, rispetto al 
quale è unita la curva stessa, ma non è unito nessun punto 0 spazio minore qualsiasi 
contenuto in Sr. 
6. Ma si può dire anche di più; si può dimostrare cioè, che se in un gruppo 
proiettivo semplice o* di S, vi sono spazi inferiori uniti, i minimi fra questi spazi — 
quelli cioè dentro i quali nessuno spazio minore è del pari unito — devono essere 
(com'è chiaro) a due a due indipendenti, e devono formare un sistema APPARTENENTE 
ALLO SPAZIO S,; vale a dire, devono esistere sempre m (> 2) spazi uniti indipendenti 
di dimensioni h, , ho, ...hn (0 S h; © r — 1) tali che: 
EL 1) Li 
In particolare dunque, se vi è un S, , unito, vi dovrà anche essere un punto unito 
(fisso) esterno a questo spazio (iperpiano); se vi è un S,- unito, vi sarà anche una 
retta unita non incidente a questo S,_, D), e così via dicendo. — In ciascuno spazio 
unito minimo Sx, (per À; > 1) verrà poi subordinato un gruppo 00° con una curva 
razionale normale (di ordine A) unita; curva che, per h; =1, sarà la stessa retta 
Sa; = Die 
Questo teorema si trova già enunciato nel 3° vol. della Theorie der Transfor- 
mationsgruppen del Sig. Lie (p. 785), ma non vi è dimostrato ; è detto soltanto che la 
(prima) dimostrazione datane da Srupy non era forse del tutto soddisfacente, ma è 
stata poi completata da EnckL con opportuni sviluppi analitici (analoghi a quelli di 
cui è fatto uso a pp. 736 e 758 «del vol. stesso). — Io ho cercato di darne un'altra 
dimostrazione (geometrica), che è quella appunto che forma l'oggetto principale di 
questo $ (). La dimostrazione è divisa in tre parti. Nelia prima parte (n° 6) verrà 
in certo qual modo invertito il teorema del n° 5, o, per dir meglio, verrà esaminata 
DI Anche se vi fossero, fuori dell'S,-2, due diversi punti uniti, vi sarebbe pur sempre una retta 
unita — la loro congiungente —; ma non potrebbero su di questa essere uniti (per l’intero gruppo) 
soltanto quei due punti, perchè se no, imponendo a un terzo e quindi ad ogni punto della stessa 
congiungente di essere del pari unito, si verrebbe a staccare dal gruppo proposto un sottogruppo 
invariante 00%, il che nel nostro caso non può avvenire. Potrebbero perd essere uniti, per l’intero 
gruppo 005, tutti i punti di quella retta; ma l'$+ unito sarebbe allora asse di un fascio di Sr1 
uniti, e noi potremmo limitarci allo studio delle trasformazioni subordinate entro ciascuno di 
questi spazi. 
8) Non mi nascondo certo le difficoltà che la lettura di questa dimostrazione sarà per presen- 
tare. Ma la necessità di rimuovere fin d'ora talune obbiezioni che si sarebbero poi potute avanzare, 
e il desiderio di non introdurre possibilmente nel teorema nessuna restrizione (nemmeno quella ad 
es. dell’algebricità del gruppo) non mi hanno permesso di essere più breve, nè forse permetterebbero 
di rendere la lettura stessa tanto facile e chiara quanto sarebbe desiderabile. Il lettore che non 
volesse troppo stancarsi, e coloro soprattutto che non avessero molta famigliarità coi concetti e coi 
ragionamenti di cui dovrò valermi, potranno accettare il teorema come dimostrato altrove, e pas- 
sare senz'altro al $ 8. 
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