di SULLE VARIETÄ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 193 
una certa ipotesi che risulterà possibile nel solo caso del gruppo © con una (” ra- 
zionale normale fissa. Esclusa pertanto quest'ipotesi, nella seconda parte (n° 8) verrà 
studiato il caso più semplice fra gli altri previsti dal teorema generale già enun- 
ciato (il caso cioè di due soli spazi minori fissi, un S, e un S,_-1), e stabilito il 
teorema stesso per questo caso particolare. Nella terza parte infine (n° 9) si dedurrà 
dal teorema particolare del n° 8 la dimostrazione generale richiesta. 
7. Anzitutto, nel caso di un gruppo proiettivo co’ con una curva razionale normale 
unita, è noto (cfr. anche quanto è detto al n° 5) che ogni sottogruppo co° ammette 
un solo punto unito fisso, che sta su quella curva; e questo stesso punto, contato 
r +1 volta, è anche il solo punto unito per il gruppo parabolico co! contenuto come 
sottogruppo invariante in quel gruppo co. Ma noi possiamo anche dimostrare, inver- 
samente (e sarà questa la prima delle tre parti), che : 
Se un sottogruppo parabolico ©! di un gruppo proiettivo semplice 00° di S, ammette 
un solo punto unito (r + 1) (sicchè le relative traiettorie saranno curve razionali nor- 
mali di ordine r (*)), allora : 
1° Il gruppo ©0° che contiene questo gruppo parabolico come sottogruppo invariante 
si compone appunto delle omografie che lasciano fissa una certa C" razionale normale, e 
un punto sopra questa curva (°); 
2° Il gruppo complessivo oo si compone a sua volta di tutte le omografie che 
mutano in sè una certa curva razionale normale dello spazio S,. 
Poichè ogni sottogruppo parabolico co! del gruppo 00° proposto è contenuto come 
sottogruppo invariante in un determinato sottogruppo co° dello stesso gruppo oo), 
così, nel nostro caso, avendo uno (e quindi ciascuno) di quei sottogruppi parabolici un 
solo punto unito P (variabile però eventualmente da un sottogruppo all’altro), questo 
punto sarà ogni volta unito anche per tutte le operazioni del sottogruppo oo (G») in 
cui quel gruppo parabolico è contenuto; e altrettanto si dica dei vari S; (k—1, 2,... p —1) 
uniti uscenti da quel punto. In particolare, sulla retta unita p che passa per P il 
gruppo Gs dovrà subordinare il gruppo anche co° di tutte le omografie per cui è 
unito P (e non soltanto il gruppo parabolico co! per cui P è punto unito doppio) perchè 
se no, imponendo a uno e quindi ad ogni altro punto della stessa retta di essere unito, 
si troverebbe in G un sottogruppo ©! invariante diverso da quello prima considerato, 
il che non è possibile. Nel piano unito TT per p verrà allora subordinato un gruppo, 
sempre 00°, con una conica fissa passante per P e ivi tangente alla p; ciò risulta 
ad es. osservando che in questo piano deve essere unito per tutto G, il fascio delle 
coniche che sono traiettorie per il sottogruppo parabolico (invariante) di G, stesso; 
fascio che si compone di coniche aventi in P un contatto di 3° ordine, colla retta p 
come tangente comune; e che, se in questo fascio la retta (doppia) p, che ne è la 
sola conica degenere, fosse anche la sola conica unita per tutto G, si avrebbe un 
C) Cfr. ad es., per "= 3, la Mem. del Prof. Prrrarertı negli “ Ann. di Mat. ,, ser. 2, t. XXII 
(82, n° 5, pp. 24-25); e analogamente si vedrebbe la cosa per r qualunque. 
C) Questa parte del teorema sussiste indipendentemente dall’essere o no considerato il prece- 
dente gruppo CO! come sottogruppo parabolico di un gruppo 00%, 
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