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gruppo co° di proiettività permutabili col punto unito triplo P (!). Basterà quindi 
ora dimostrare che, ammesso che un gruppo G,, del tipo di quello che ora stiamo 
considerando, subordini sempre nell'unico S, unito fisso (k=2,3,...) un gruppo cc 
con una C^ unita, esso dovrà anche subordinare nell’ S} unito per questo S, un 
gruppo co con una C* unita; essendo infatti quell’ ipotesi riconosciuta vera per 
k — 2, ne seguirà la proprietà analoga per k=3,4,...r. — Ora, il gruppo Gs, 
come lascia fissa (per ipotesi) una C* di S,, lascerà anche fisso un cono razionale 
normale TT di Su, col vertice in P (perché le rette — o gli S, — di Sy, uscenti 
da P si possono considerare come punti di un nuovo spazio £,, sui quali G, dovrà 
operare come sui punti dell" S, unito prima considerato). Questo cono sarà luogo 
di œ curve C**!, traiettorie del sottogruppo parabolico ©; e le tangenti a queste 
stesse curve nei punti di una generatrice variabile del cono [* formeranno sempre 
fascio attorno a un punto variabile della curva C* (°). Per un sottogruppo ©! gene- 
rico di G, è unito un punto di C* (distinto da P) colla corrispondente generatrice 
di l* (distinta da p); se anche sopra questa generatrice vi fosse un nuovo punto 
unito distinto da P, la nostra asserzione risulterebbe senz'altro verificata, perche il 
luogo di questo ulteriore punto unito, esterno ad S,, non potrebbe essere altro che 
una C! passante per P e unita per l’intero gruppo G,. — Potrebbe però nascere 
il sospetto che sopra questa generatrice unita variabile fosse sempre subordinato un 
gruppo parabolico œœ con P come punto unito doppio; ma è facile vedere che le 00° 
operazioni cosi risultanti non formerebbero un gruppo. Supposto infatti che ne formino 
uno, è chiaro che tali operazioni si dovrebbero poter ottenere tutte moltiplicando 
fra loro due sottogruppi C0! comunque scelti in quel gruppo, ad es. il sottogruppo 
parabolico, e un altro qualsiasi; e questi due sottogruppi si potrebbero rappresentare 
rispett. (in coordinate o, %,... Urp di spazi Sj) con equazioni del tipo: 
wo = Wo $ wo == 
wu, = wu + um u'i = pu, 
u, = w, + 20w, + 0°% 
aui st niae 
Wa hat + Ya... + at Win = Mu + logp . uw. 
(!) Ciò segue immediatamente dalle equazioni semplicissime di questi gruppi, ed è pure con- 
fermato dalla determinazione completa, fatta dal sig. Lim, dei vari gruppi proiettivi del piano (e in 
particolare di quelli OO?) (cfr. ad es. Lie, Op. cit., vol. III, p. 107; Lie-Scaerrers, Op. cit., pp. 288-291). 
@) Si osservi che i piani tangenti al cono FF devono incontrare lo spazio Sx secondo le gene- 
ratrici di un cono F*-1, del pari unito, che sarà quello appunto che da P proietta la curva unita OF. 
Ciascuno di questi piani contiene una tangente di ciascuna delle C*! considerate di sopra, e una 
generatrice di ciascuno dei due coni F* e TF): e se quelle tangenti non formassero fascio attorno 
a un punto di quest’ultima generatrice, esse punteggerebbero proiettivamente queste stesse gene- 
ratrici con P come punto unito; formerebbero dunque fascio intorno a un nuovo punto di quel 
piano, il che non è possibile. 
