9 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 195 
Wo = Wo 
ui = p(u + au) 
nl, = p° (us + Lau, + oui) 
wi= p'(ux + kam-ı +... + o*u,) 
le quali rappresentano bensì una schiera co* di omografie, ma a cui non compete la 
proprietà di gruppo (!). 
Rimane cos stabilito il n° 1 di questa prima parte della dimostrazione com- 
plessiva. Ammesso ora che, nel gruppo complessivo Co, uno e quindi ciascun sotto- 
gruppo 00° lasci fissa una certa C" razionale normale, faremo vedere che questa curva 
non può variare da un sottogruppo co° all'altro, ed è quindi unita per l'intero 
gruppo co". — Supposto infatti che varii, essa assumerà in tutto co! posizioni di- 
verse, ciascuna delle quali sarà a sua volta unita per un nuovo sottogruppo 00° con 
un (solo) punto unito fisso P posto su di essa. Due qualunque di queste oo! curve 
C saranno poi contemporaneamente unite per il sottogruppo C9! comune ai corri- 
spondenti gruppi 00° — saranno cioè traiettorie per questo sottogruppo —,e 
avranno quindi à comune i due punti uniti (distinti) che questo sottogruppo ammette 
Sopra di esse, nonché i vari spazi osculatori ad esse in questi stessi punti (°). Ma, 
tenendo fissa una di queste due curve, e facendo variare l'altra, questa coppia di 
punti uniti deve sempre comprendere il punto unito P relativo alla C" fissa; dunque il 
punto P relativo a una €" qualunque deve stare anche su tutte le rimanenti. E sic- 
come questo punto non può essere fisso per l'intero gruppo 00°, perchè se no le co! 
curve C" dovrebbero avervi a comune tutti i loro spazi S; osculatori (11, 2, ... r — 1), 
di modo che anche questi spazi risulterebbero fissi, e perciò il gruppo co? sarebbe 
integrabile, cosi si conclude che le co! posizioni del punto variabile P costituiranno 
una curva, colla quale tutte le diverse C" dovranno coincidere: sicchè queste coin- 
eideranno anche fra loro, come appunto si voleva dimostrare. 
8. Veniamo alla seconda parte della dimostrazione complessiva. Faremo vedere 
ora che: Se un gruppo proiettivo semplice oc? di S, lascia fisso uno spazio S (0 —k < r), 
ma non, entro Si, uno spazio minore (sicchè entro lS stesso, quando sia k > 1, verrà 
(*) Ciò è confermato anche, per X+1=8, dalla determinazione eseguita recentemente dal 
sig. Lin di tutti gruppi proiettivi 00° di Sẹ e in particolare di quelli che lasciano fissa una conica 
(C* di Sr, in Sit) (Nota cit. dei “ Leipz. Ber. ,, 1895, cap. I, $ 1). A parte il gruppo co) con una 
cubica fissa e un punto unito fisso sopra questa (nel qual caso la conica unita sta nel piano oscu- 
latore alla cubica in questo punto) vi deve sempre essere una retta fissa, incontrante la conica, 
ma non contenuta nel piano di essa; e su questa retta deve esservi (oltre all'intersezione colla 
conica) un secondo punto unito fisso, che può essere distinto dal primo (gruppo di 4* specie di 
Exriques, Mem. cit.), oppure anche infinitamente vicino ad esso. 
C) Cid è chiaro geometricamente, e si può anche dedurre dalle equazioni del gruppo, che sono 
riducibili alla forma a/; = pizili=0, 1, ... 7), dove p è il parametro. 
