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subordinato un gruppo pure OO' con una C* unita), e non lascia nemmeno fisso, entro H. 
un Sr (k < k' < r) passante per quell S, esso lascerà fisso un S, 4.4 non incidente allo 
spazio Sy, e subordinerà in questo H (se r — k — 1 = 2) un gruppo OH con una 
CE unita. 
E questo, come si vede subito, il caso più semplice fra quelli previsti dal teo- 
rema generale del n° 6 (quando solo si escluda il caso ovvio della C" razionale nor- 
male unita). Di qui seguirà poi facilmente la dimostrazione per il caso generale. 
Possiamo supporre k > +; se cosi non fosse, sarebbe certo r — k — 1 > i 
e noi potremmo quindi ridurci a quell'ipotesi trasformando la questione per dualità, 
considerando cioè gli S, , di S, come punti di un nuovo spazio X,, nel quale sarebbe 
unito uno spazio minore Z,_,,. — In ogni caso, il gruppo © proposto opererà 
sugli co"! spazi Sı (o S.) passanti per 1’S, unito (che indicheremo con o) come 
sui punti di un S,,, nel quale si abbia una Ok) unita. Vi sarà quindi una 
serie OO' unita (T) di tali spazi S,,,, la quale avrà a comune r— k— 1 di questi 
stessi spazi con un S, generico passante per a; ciascuno di questi Co! spazi Spp 
sarà unito per tutto un sottogruppo 00° (Gs) del gruppo proposto, mentre per un 
sottogruppo 00' saranno uniti due di quegli spazi, in generale distinti, più altri 
r — k — 2 spazi Su passanti pure per a, ma non appartenenti alla serie F; tutti 
pero coincidenti in uno stesso S,,, di questa serie, se il sottogruppo è parabolico. 
(Nel caso estremo k— r — 1 questa forma fondamentale di spazi Sx; si riduce al 
solo spazio S,; ma il ragionamento che segue è applicabile anche a questo caso). — 
“iascun sottogruppo G, ammetterà un punto unito fisso P sulla curva unita (* di 
S,= 0, e una retta unita pure fissa per questo punto, che sarà la tangente alla 
stessa ©". Ma è facile riconoscere ch’ esso dovrà anche ammettere una seconda 
retta unita fissa p passante per P e non contenuta in a. Infatti il sottogruppo pa- 
rabolico co! contenuto in questo gruppo G, deve ammettere, oltre a P, almeno un 
secondo punto unito P’ (fuori di a, ma nell'unico S,,, unito passante per o), perchè 
si tratta ora di un gruppo complessivo 00° che non è certo quello di una C” razio- 
nale normale, sicchè appunto P non può essere, per quel sottogruppo parabolico, il 
solo punto unito (cfr. n° 7). Oltre a P' non può essere unito, per lo stesso gruppo 
parabolico, nessun altro punto P" esterno alla retta PP', perché se no si avrebbero 
o due S,,, uniti per a (gli spazi aP’ e aP”), oppure un secondo punto unito (distinto 
da P) in o stesso; casi entrambi da escludersi. Sarà però unito, sempre per quel 
gruppo parabolico co', ogni punto della retta PP’, perchè se no P’, come punto unito 
isolato per un sottogruppo invariante, sarebbe certo unito per tutto G,, e gli altri 
punti della retta PP' sarebbero a loro volta uniti per un sottogruppo invariante 
di Gs diverso da quello prima considerato, il che è assurdo ('. Questa retta PP’ 
sarà appunto la retta p richiesta; essa ? luogo di (tutti i) punti uniti (entro lo 
spazio aP) per il sottogruppo parabolico (invariante) di Gs (e teniamo nota in parti- 
colare di questo fatto), ed è pure unita, benchè in generale non più luogo di 
(!) Più generalmente, si può riconoscere in modo analogo che i punti uniti fissi di un gruppo 
continuo CO', il quale sia unico sottogruppo invariante ad i parametri entro un gruppo CO, devono 
formare uno spazio Sx unico; vale a dire, se due punti distinti sono uniti per un tal gruppo, lo 
saranno anche tutti quelli della loro congiungente. 
