ll SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 197 
punti uniti, per le rimanenti operazioni di G, stesso. — Al variare del sotto- 
gruppo Gs, ossia del punto P sulla curva C*, questa retta p descriverà una rigata 
razionale avente la C" stessa per direttrice (semplice). Da un S, generico per a 
questa rigata verrà ancora incontrata secondo r — k — 1 generatrici, perché tanti 
appunto sono gli S,,, della serie F contenuti in quell'S, ;, e ciascuno di questi con- 
tiene a sua volta una ed una sola retta p; la rigata sarà dunque di ordine r — 1, 
e perciò normale. ll gruppo cc* proposto dovrà evidentemente trasformare in sè 
questa rigata, lasciandone anche fissa la direttrice C" contenuta nello spazio a. Ora, 
a d de E ^ prode ai toe ond 
se k è precisamente SSC ECH vi sarà sulla rigata tutto un fascio di direttrici (mi- 
È : rr ri à : 
nime) di questo stesso ordine "o": sicchè il gruppo proposto, essendo privo di 
sottogruppi invarianti, e dovendo d’altra parte trasformare in sè questo fascio di diret- 
trici e (almeno) una curva di esso fascio, trasformerà in sè anche ciascuna delle 
rimanenti curve di esso (). Avremo dunque in tutto, non solo due, ma infiniti spazi 
` D 
SA 
Sr uniti non incoftrantisi a due a due, e in ciascuno di essi una ©? del pari 
r—1 
unita. Il teorema è dunque in questo caso dimostrato, essendo r— k — 1 = k 
2 
r—1 : N : . d E 
Invece, se k > mu la rigata ammetterà certo qualche direttrice di ordine 
inferiore a k. Ma essa non potrà più ammettere in questo caso un fascio di diret- 
cd 
trici minime di ordine ? (), perchè se no per un sottogruppo co! qualunque, 
r—l 
sarebbero unite, oltre alla C^, due generatriei p e due direttrici C? ; le une e le 
altre infinitamente vicine se questo sottogruppo è parabolico; e l’unica generatrice 
unita non sarebbe allora più luogo di punti uniti per lo stesso sottogruppo, come 
noi abbiamo invece supposto che fosse (*). — Vi sarà dunque una direttrice minima 
unica, di ordine < i; questa sarà evidentemente unita per il gruppo 00° pro- 
posto, e il suo ordine sarà precisamente =» — k — 1 (non inferiore, perchè se no 
non potrebbero esistere sulla rigata direttrici di ordine # (^); non superiore, perchè se 
no lo spazio di essa dovrebbe certo incontrare a, determinandovi così uno spazio 
minore unito). Anche in questo secondo caso è dunque vero il teorema enunciato. 
(!) Se così non fosse, imponendo a queste altre curve di essere anche unite, si staccherebbe 
dal gruppo CO? un sottogruppo invariante almeno CO!. 
grupp grup) 
2) Si aggiunga anzi che, quand'anche la nostra rigata potesse ammettere un tal fascio di diret- 
ggiung 8 
"Ze" se d à r+1 Y B 
trici minime, ciò potrebbe avvenire soltanto per boer" se no la O* incontrerebbe le sin- 
TL 
vol. XIX), e si avrebbe quindi su di essa un'involuzione unita rispetto all'intero gruppo 00°, il che 
è assurdo. 6 
Č) La dimostrazione si potrebbe però completare facilmente anche in questo caso, senza tener 
conto del fatto che le generatrici p devono essere luoghi di punti uniti per i singoli sottogruppi 
Parabolici. — ll caso più semplice di un gruppo CO? di questo tipo è quello di una quadrica di S; 
con una conica fissa su di essa (ossia il gruppo proiettivo CO? che trasforma in se stessa una qua- 
drica di S; e lascia fisso anche un punto non contenuto in questa quadrica). ‘ 
() Ovvero, se vogliamo, perche si avrebbe in S, uno spazio minore unito contenente S;, il che 
si è escluso. 
en ee 
