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9. Da questo secondo teorema (n° 8) segue facilmente il teorema generale enun- 
ciato al principio del n° 6. Si abbia in S, un gruppo proiettivo semplice oo? con un 
numero qualunque di spazi minori uniti. Fra questi, prendiamone uno Sx di dimen- 
sione minima; poi lo spazio unito Sw di dimensione minima fra quelli che conten- 
gono S, (sicchè per S, non passeranno spazi uniti di dimensione < k#' e contenuti 
in Sy) (©); poi lo spazio unito S," di dimensione minima fra quelli che passano per 
Sr, e così di seguito, finchè non si arrivi a uno spazio non contenuto in altro più 
Si, e Sy si 
ampio e del pari unito, all’infuori di S, stesso. — Poichè gli spazi S, 
trovano nelle stesse condizioni degli S, ed S, al n? prec, avremo in S; anche un 
Sx_r-1 = Sa unito non incidente a S» (e dentro di esso, se ,>2, una C^ unita) (). 
Si considerino ora gli Sı di Sw passanti per S, = Sm. Questi si possono ritenere 
come punti di uno spazio X,".,-1:, nel quale è unito lo spazio minore Xy; for- 
mato da quegli S.. che, passando sempre per Si, stanno anche in Sy. Per questo 
Zw--x-1 non passa, entro X, 
—,, nessun altro spazio unito più ampio (se no vi sa- 
rebbe uno spazio unito per Sr inferiore a Sw); vi sarà dunque, in 2j" ,:, un nuovo 
spazio unito X," ,;. costituito da un sistema GH) di spazi Si per S,. Questi 
Su saranno contenuti in un Sx unito per S,, il quale si trova ancora, rispetto 
ad S, stesso, nelle condizioni richieste dal teorema del n° 8, e conterrà perciò un 
Ser = Sn, del pari unito e non incidente a Sm = S,. Nello spazio Sw abbiamo 
dunque trovati fre spazi uniti S,,, Sm, Sas, a due a due indipendenti, e tali che: 
(n + 1) + (s + 1) + (5 +) = +1. 
E così si può continuare, finchè non si sia esaurita la serie degli spazi Szo (consi- 
derando dapprima il sistema degli Sy:1 per Sr entro Sw, ecc.). 
Resterebbe solo a dire qualche parola sul caso in cui vi siano in S, almeno due 
e quindi infiniti punti uniti fissi. (E chiaro che, se vi sono k-l-1 punti uniti fissi 
indipendenti, l’ S, da essi individuato sarà anche tutto composto di punti uniti (°)). 
Allora, supposto che sia Sy (e sarà certo k > k + 2) lo spazio unito minimo (entro $,) 
contenente questo D, = a di punti uniti, dico che in Sy vi sarà egualmente un Sy ia 
unito (non incontrante a). — Infatti ogni sottogruppo G del gruppo 00° proposto 
ammette un S,,, unito fisso passante per a, e in questo spazio vi è certo almeno 
una retta unita fissa non contenuta in a. (Cid è evidente se il gruppo G, subordina 
in Sen un gruppo soltanto co! di operazioni (omologie) diverse; che se poi esso vi 
subordina un gruppo anche 00° di omologie, queste omologie non potranno essere 
tutte permutabili, e quindi speciali, sicché sarà unita la retta luogo dei centri, 
esterna appunto ad o). Variando il sottogruppo G,, e quindi lo spazio S,,,, varierà 
questa retta unita, ma in modo da passare sempre per lo stesso punto di a; essa 
(f) È questa, in sostanza, la sola condizione veramente necessaria per la dimostrazione; l'ipotesi 
della dimensione minima si introduce soltanto per fissare maggiormente le idee, e facilitare il 
linguaggio. 
Ê) Anzi, se # — 2k +1 (ad es. se k= 0, k = 1), avremo entro Sr infiniti Sx = Sm = Sh, uniti. 
(3) Cfr. la nota (!) al n° 6. — Questo caso si è implicitamente escluso finora, perchè appunto il 
ragionamento del n° 8 suppone che lo spazio S» non sia luogo di punti nè inviluppo di Sr-1 uniti. 
