13 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 199 
descriverà dunque un cono razionale normale, il cui spazio non potrà incontrare a 
che nel solo vertice del cono stesso, e sarà perciò un Sy.; (non uno spazio infe- 
riore, se no per a passerebbe uno spazio unito inferiore a Sy). Questo Sy sarà 
pure unito rispetto all'intero gruppo ©; e poiché esso contiene uno (ed un solo) 
punto unito fisso, esso dovrà anche contenere (n° 8) un Sw_x-1 unito, non passante 
per quel punto, e quindi non incidente ad o: ed era appunto l’esistenza di un tale 
spazio entro Sr quella che si voleva dimostrare. 
10. Con quest'ultima osservazione, il teorema generale del n° 6 rimane comple- 
tamente dimostrato, anche nel caso di infiniti punti (e quindi infiniti spazi minori) 
uniti fissi. Possiamo anche enunciarlo dicendo: 
Ogni gruppo proiettivo semplice co? di uno spazio S, trasforma in sè um certo 
numero di curve razionali normali di ordine =r, che appartengono a spazi fra loro 
indipendenti, e i cui ordini aumentati ciascuno di un'unità dànno per somma v +1. 
— Delle varie curve unite, qualcuna può anche ridursi ad un punto (ordine zero) — 
ma se ciò avviene per k curve, lo spazio S,, di questi punti è luogo di punti uniti 
fissi per tutto il gruppo co? —; e un numero qualunque (purchè naturalmente < "3 
può esser costituito da rette. Il solo caso di una curva unica è quello della curva 
razionale normale di ordine r. 
In particolare, da questo stesso teorema segue anche immediatamente che: Un 
sottogruppo co' generico (e precisamente: non parabolico) di un gruppo proiettivo sem- 
plice co? di S, ammette sempre r + 1 punti uniti distinti e indipendenti (senza escludere 
naturalmente con ciò che vi possano anche essere infiniti punti uniti; solo che fra 
questi ve ne dovranno sempre essere r-|-1 indipendenti). Un gruppo proiettivo co! 
con punti uniti multipli non pud essere sottogruppo generico di un gruppo sem- 
plice 00°: può esserne sottogruppo parabolico, ma solo se i suoi punti uniti formano 
uno spazio S; unico (si riducono cioè, se in numero finito, a un solo punto (r + (el (1). 
Con questo teorema risultano dunque determinati tutti i diversi tipi di gruppi 
proiettivi semplici cO? di uno spazio qualunque S,; sono, in sostanza, le estensioni 
più ovvie e più naturali dei gruppi 00° a punti uniti in generale distinti, e composti 
di operazioni non tutte permutabili; gruppi già conosciuti per r—3 CL e facilmente 
prevedibili per 7r qualunque (). Da questi ultimi si possono ottenere i primi, con- 
servando come curve unite certe curve luoghi di punti uniti variabili (e precisamente, 
in ciascun sistema di curve unite con un punto a comune, quella di ordine più ele- 
Vato) e, eventualmente, uno o più punti uniti fissi (in quest’ultimo caso si avranno 
però infiniti punti uniti fissi per il gruppo 00). 
(1) Questa proprietà avrà forse la sua importanza anche per tutti i gruppi proiettivi non inte- 
grabili; ma è bene avvertire che l'operazione (o il sottogruppo OO!) più generale di un tal gruppo 
Può non esser contenuto in alcun sottogruppo semplice CO? del gruppo medesimo. Cid avviene ad es. 
in un gruppo CO non integrabile, contenendo quest'ultimo un solo sottogruppo semplice CO? (efr. Lux, 
Op. cit., vol. III, p. 723; Lrs-Scuxrrens, Op. cit., p. 574). 
C) Cfr. Enriques, Mem. cit. degli “ Atti dell’Ist. Ven. „, ser. 7°, vol. IV, pp. 1605 e seg. 
(C) Cfr. anche quanto è detto in una mia Nota inserta nei “ Rend. dell’Acc. dei Lincei ,, ser. 5°, 
vol. IV, 1° sem., p. 328. 
ome 
perse, 
