15 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 201 
neare fratta); in altri termini, i parametri omogenei &,, E, subiranno una sostitu- 
zione lineare omogenea : 
il cui determinante ad — be è diverso da zero (per una trasformazione non degenere) 
e può supporsi addirittura — 1. — Viceversa, ogni sostituzione lineare di questi 
due parametri determina sopra ogni curva C una trasformazione proiettiva, che si 
può estendere a tutto lo spazio cui la curva appartiene, e risulta anzi già com- 
pletamente determinata per questo spazio. Nello spazio Sn, p. e., le equazioni di questa 
proiettività si otterrebbero esprimendo per mezzo delle (2) le 
= ph, di = Seles JA da = Eh 
in funzione lineare omogenea delle Eh, E17 ,..., e introducendo in luogo di 
queste potenze e prodotti di potenze le stesse x, x1,... secondo le (1). — Quanto 
allo spazio complessivo S,, le equazioni della proiettività più generale fra quelle che 
nei singoli spazi uniti Sy... subordinano le trasformazioni testé considerate si otter- 
ranno aggiungendo nelle espressioni di ogni gruppo di coordinate omonime (indicate 
cioè da noi con una stessa lettera) un medesimo fattore arbitrario (variabile da gruppo 
a gruppo di coordinate); sicchè in tutto si avranno m nuovi parametri, dei quali 
saranno però essenziali soltanto i mutui rapporti. Queste proiettività di S, forme- 
ranno perciò complessivamente un gruppo 00”*?, dal quale, imponendo a due qualunque 
degli m nuovi parametri omogenei di essere eguali fra loro, si staccheranno altrettanti 
sottogruppi invarianti Co", Siccome noi vogliamo estrarne un gruppo CO? privo di sot- 
togruppi invarianti, questo gruppo Co? dovrà essere a sua volta contenuto in ciascuno 
di quei gruppi ©"; vale a dire gli stessi m parametri dovranno essere tutti eguali 
fra loro, e si potranno addirittura porre tutti eguali all'unità (il che equivale a non 
averli nemmeno introdotti). Ma così facendo non rimane più che un solo gruppo 00°; 
sarà dunque questo il gruppo che noi andiamo cercando: e potremo perciò concludere: 
Le stesse equazioni ottenute separatamente per i singoli spazi Sm, vale a dire le: 
vo dan + haha, + (hyah-29 +... + dan, 
Yo = ayo + hs ads by, + (fe) af y, +. + BY, 
rappresentano già, prese insieme, il gruppo OC? da considerarsi in S,, quando si in- 
terpretino ancora le a, b, c, d come parametri variabili, ma legati dalla relazione 
ad — bo — 1, e riducibili perciò a tre soli distinti. 
Serm II. Tow. XLVI. à 
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