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12. D’altra parte è anche facile verificare che, se noi consideriamo il sistema 
di forme binarie (nelle variabili &, &): 
f, = mE + Mae + (ane +. + a En 
f, = vot + hoy Ep E + P) e EPI B +. on, Re 
^ 
e assoggettiamo le variabili stesse al solito gruppo Co? di sostituzioni unimodulari (2), 
che possiamo anche rappresentare cosi: 
EL de, 024 
(2) (ad — bc = 1) 
Ec E WE, 
i coefficienti %,... Y,... subiranno corrispondentemente un gruppo 00° di sostituzioni 
lineari rispett. identiche a quelle testè considerate (equazioni (3)). — Ora, ogni varietà 
algebrica M, , dello spazio S, la quale sia trasformata in sè da questo gruppo pro- 
iettivo si rappresenterà analiticamente eguagliando a zero una certa funzione razio- 
nale intera omogenea delle æ, y, 2,..., la quale, per effetto delle trasformazioni (3), 
non potrà alterarsi che per un fattore costante, dipendente dalle sole a, b, c, d. 
Data pertanto la nuova interpretazione di cui è suscettibile il gruppo rappresentato 
dalle equazioni (3), l'algebra ci insegna che questo fattore costante sarà necessaria- 
mente una potenza del determinante ad — be (') (e sarà quindi nel nostro caso addi- 
rittura eguale all'unità); e quella funzione delle z, y, 2,... non sarà altro che un 
invariante delle forme f., f,,... (nel senso della teoria delle forme algebriche). Con- 
cludiamo percid: \ 
Ogni varietà (algebrica) M, dello spazio S,, la quale sia trasformata in sè da 
tutte le operazioni del gruppo protettivo co? che si considera (gruppo le cui equazioni 
sarebbero date dalle (3)), sarà rappresentata analiticamente dall’annullarsi di un in- 
variante simultaneo delle forme binarie £,, f,,... (senza escludere, ben inteso, il caso 
di un invariante di alcune soltanto di queste forme; solo che allora la M,_, sarebbe 
evidentemente un cono). 
E perciò: La ricerca di tutte le varietà algebriche M, , di uno spazio S,, le quali 
ammettono un gruppo semplice CO! — o, più generalmente, un gruppo NON INTEGRA- 
BILE — di trasformazioni protettive in sè, è ricondotta a quella degli invarianti dei 
vari sistemi di forme binarie di gradi hy, be... h, tali che sia: 
+1) ++ 1) +-+ ie + D 74-10. 
DI Cfr. ad es. Srupv, Methoden zur Theorie der ternüren Formen (Leipzig, 1889), pp. 7, 31. 
() Quando una delle A: fosse nulla, si deve intendere la forma corrispondente (di grado zero) 
come ridotta a un unico coefficiente, da considerarsi a sua volta come (unico) invariante di questa 
forma. 
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