17 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 203 
Non si può dire però (ed è bene notarlo) che la ricerca di tutte le varietà in- 
varianti rispetto a un tal gruppo (anche di quelle di dimensione inferiore a r — 1) 
sia ricondotta alla ricerca degli invarianti e sistemi di invarianti del sistema di forme 
considerato. Vi sono infatti delle relazioni fra i coefficienti di queste forme che si 
possono ancora chiamare, nel loro complesso, invariantive, ma che non si possono 
esprimere coll'annullarsi di un certo numero, anche sovrabbondante, di invarianti, 
ma solo mediante opportune equazioni tra i coefficienti di taluni covarianti (). In 
ogni modo pero siamo ricondotti anche in questo caso ad un problema di teoria 
delle forme algebriche. 
13. Il teorema enunciato testé mette in luce in tutta la sua generalità un le- 
game notevolissimo fra la questione che noi ci siamo proposti di studiare, e che pud 
presentarsi sotto forma puramente geometrica, e la teoria delle forme binarie, in 
quanto precisamente le nostre ricerche geometriche si possono ricondurre al problema 
principale che à oggetto di quest'ultima teoria. — Nel caso di una sola forma binaria 
di grado r — ossia di una sola curva fissa in S,, la quale sarà precisamente una curva 
razionale normale di ordine r — il legame osservato rientra sostanzialmente nella 
nota rappresentazione dei gruppi di r elementi di una forma semplice mediante i 
punti di uno spazio S,; rappresentazione che, nel caso piü semplice di r — 2, fu già 
studiata da Hesse (* Journ. de Crelle ,, Bd. 66), e della eui possibilità per r qua- 
lunque è fatto cenno nel Programma già cit. del Kuzrw (8 5). 
Più recentemente, questa stessa rappresentazione compare melle Vorlesungen 
über continuirliche Gruppen... di Lig-Scugrrgns, fra le diverse applicazioni della teoria 
dei gruppi continui (p. 718 e seg). Anche lì si tratta di mettere in relazione pro- 
blemi relativi a quest'ultima teoria colla teoria delle forme binarie ; ma, prescindendo 
anche dal fatto che la parte analitica della questione, l'equivalenza cioè di due o piü 
forme binarie, vi è sempre messa maggiormente in evidenza, è bene notare che lo 
Scopo propostosi dall A. è quello di applicare i metodi generali di Lie per forma zione 
degli invarianti di un dato gruppo continuo di trasformazioni al caso particolare del 
gruppo di sostituzioni lineari a cui risultano assoggettati i coefficienti di una forma 
binaria corrispondentemente al gruppo oo? di sostituzioni unimodulari delle variabili. 
Si tratta insomma di formare effettivamente questi invarianti per una nuova via. — 
A noi invece interessa soprattutto il lato geometrico della questione, e quindi, più 
che la formazione dei vari invarianti (che in molti casi sono già noti da lungo tempo), 
l'opportuna interpretazione geometrica delle equazioni che si hanno eguagliando questi 
invarianti a zero. — Nell'op. di Lrm-Sorterrers à anche considerato un caso di sistema 
di due forme (e precisamente di due forme quadratiche), ma senza alcun cenno di 
rappresentazione geometrica; rappresentazione che condurrebbe, dal nostro punto 
di vista, a un gruppo proiettivo © dello spazio S, con due coniche fisse (in piani 
non incidenti). 
() Cfr. ad es. Cresson, Theorie der binären algebraischen Formen (Leipzig, 1872); pp. 91, 163. 
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