GINO FANO 
$ 4. 
Varietà invarianti rispetto al gruppo di una C” razionale normale. 
Curve e superficie invarianti rispetto a un gruppo proiettivo 
semplice 00° qualsiasi. 
14. Per il caso di un gruppo proiettivo co? di S, il quale trasformi in sé una 
curva razionale normale di ordine r, possiamo ancora aggiungere qualche osservazione 
d'indole generale (). 
Da quanto abbiamo detto risulta intanto che la ricerca delle M, , invarianti 
rispetto a un tal gruppo è ricondotta a quella degli invarianti di una forma binaria 
di grado r. E noto che fra questi invarianti (per r = 3) se ne possono trovare r — 2 
(razionali, interi) distinti fra loro, e tali che i rapporti fra opportune potenze di essi 
siano invarianti assoluti di quella stessa forma (fra i quali ultimi r — 3 saranno 
indipendenti) (*). Se con A; , Ae, ... A,_, indichiamo quegli r — 2 invarianti (relativi), 
e con ge, @s,... O, un gruppo di esponenti (interi, positivi) tali che le A" siano 
tutte funzioni di uno stesso grado nei coefficienti della forma primitiva, epperò i 
loro mutui rapporti risultino invarianti assoluti di questa forma, è chiaro che in uno 
spazio S,, nel quale quei coefficienti zo, x,,... æ, si assumano come coordinate 
proiettive omogenee, ogni varietà del sistema lineare 00°: 
(1) kän bänk + kA; 
sarà invariante rispetto al gruppo 00° della curva razionale normale: 
| 
| 
Saranno dunque invarianti rispetto a questo gruppo anche le varietà intersezioni di 
due o più varietà qualsiasi del sistema (1). Se prendiamo in particolare r — 3 
varietà (M, ;) indipendenti di questo sistema, e consideriamo le loro equazioni come 
lineari omogenee nelle. Ai, ne risulteranno individuati i mutui rapporti di queste 
ultime; vale a dire : 
` 
(!) Le cose esposte in questo 8 non sono però necessarie per comprendere il contenuto dei 
due $$ successivi. 
C) Quegli r — 2 invarianti (relativi) sarebbero anche integrali indipendenti di un sistema com- 
pleto di tre equazioni alle derivate parziali lineari fra »-|-1 variabili; variabili che sarebbero date 
appunto. dai coefficienti della forma binaria considerata (cfr. Lix-Sonsreers, Op. cit., p. 785). Nel 
nostro caso però, essendo note le equazioni finite del gruppo 00° di cui si tratta, la loro determi- 
nazione si riduce a un semplice problema di eliminazione (ax, Op. cit., vol. I, pp. 225-226). 
