19 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 205 
I punti della varietà intersezione variabile di r — 8 varietà M, , indipendenti 
del sistema (1) sono immagini in S, di forme binarie di grado r aventi gli stessi inva- 
rianti assoluti Ay": A?* (sono immagini, nel senso che le coordinate di quéi punti 
dànno i (mutui rapporti dei) coefficienti di queste forme). Quest’intersezione è in 
generale una varietà a tre dimensioni (M;), perchè r — 3 varietà M, , in S, hanno 
certo a comune almeno co* punti, e d'altra parte è anche noto che non vi possono 
essere più di co" forme binarie di dato grado aventi dati invarianti assoluti (generali). 
Lo spazio S, risulta così suddiviso in ©" varietà M, unite rispetto al gruppo 
proposto. Ma non è escluso che una tale M, possa ancora spezzarsi in due o più 
(certo però in un numero finito di) parti distinte e irreducibili (1), rispetto a ciascuna 
delle quali il gruppo 00° sarà transitivo (vale a dire due punti generici di una di 
queste M, irreducibili saranno sempre immagini di forme equivalenti) (8). 
Suddiviso così lo spazio S, in varietà M, irreducibili unite, rispetto a ciascuna 
delle quali il gruppo oo* è transitivo, è chiaro che ogni M, (k > 3) unita rispetto al 
gruppo 00° sarà una serie co*-? di tali M, (°). 
15. Quali sono le‘ superficie (M;)'unite rispetto al nostro gruppo co? (9). Un 
punto qualunque di una tal superficie deve essere unito per (almeno) co! trasforma- 
zioni contenute in questo gruppo, e sarà perciò immagine di una forma avente al piü 
due radici distinte. Di qui si trae facilmente che: 
Le sole superficie unite rispetto al gruppo proiettivo oo di una C" razionale nor- 
male in S, sono i luoghi delle intersezioni di tutte le possibili coppie di spazi Sy e S, 
osculatori alla stessa curva' nei suoi vari punti. 
Queste superficie saranno dunque in numero finito, e precisamente in numero 
Eh x 1 e È Sn à 
di TA ere secondo che r è pari o dispari. In quest'ultimo caso esse appar- 
teranno tutte alla varietà base del sistema lineare (1). Infatti un punto qualunque 
di una di esse è immagine di una forma binaria di grado r con una radice almeno 
P la DEN E toc B CET H H às D 
(y , e avente perciò tutti gli invarianti identicamente nulli (). — Se invece + 
() Infatti gli invarianti assoluti di una data forma che sono razionali nei coefficienti di 
questa si possono ancora scegliere, in generale, in vari modi, e non si puo escludere quindi che 
l birapporti dei punti radici della forma a quattro a quattro non ne risultino ancora individuati, 
ma solo determinati in un numero finito di modi. Scelti perd opportunamente gli invarianti asso- 
luti, la loro eguaglianza ® anche condizione sufficiente per la trasformabilità di due forme o sistemi 
di forme l'uno nell’altro; quando nessum loro covariante sia identicamente nullo. In caso contrario, 
ši richiede ancora l'annullarsi identico degli stessi covarianti (cfr. ad es. Fm. Meyer, Rapporto sullo 
Stato presente della teoria degli invarianti; trad. italiana di G. Vıvanıı; * Giorn. di Matem. ,, 
vol. XXXIII, p. 278). 
C) Questa suddivisione si può estendere anche alla varietà base del sistema lineare (1), benchè 
non sia ivi ottenibile collo stesso mezzo. Nei punti di questa varietà si annullano infatti tutte le Ai. 
(°) Ammettiamo per il momento (cosa che vedremo fra poco) che le superficie invarianti rispetto 
à questo gruppo CO? sono in numero finito, e non vi sono perciò altre Ms unite oltre a quelle già 
considerate. — Non sembra facile perd l’istitùire; per varietà arbitrarie, una ricerca generale ten- 
dente a stabilire quali fra queste Mz ammettono ancora altre trasformazioni proiettive in sè. 
() La sola curva unita è evidentemente la Or stessa; 
C) Sarmon, Modern higher Algebra (4th edit.; Dublin, 1885); p. 233. 
eeneg 
