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è pari, non fa parte della varietà base del sistema la (sola) superficie luogo delle 
intersezioni delle coppie di S, osculatori. 
z 
Si può aggiungere anzi, più generalmente, che ogni M, , del sistema (1) con- 
tiene le varie M,,, luoghi degli S, osculatori alla €", corrispondentemente a tutti 
r—1 
2 
Fra le varietà M, , unite rispetto al gruppo oo? vi à sempre una quadrica (M$) 
ogni qual volta r è numero pari: quella quadrica (unica e ben determinata) che 
passa per la curva C” e tocca in ogni suo punto il relativo $,_; osculatore (Teorema 
di Currorp) ('). Del resto, è anche noto direttamente che ogni forma binaria di 
grado pari ammette un invariante quadratico (%). — Invece se r è numero dispari 
(= 3), non vi sono quadriche unite rispetto al nostro gruppo co^; ma vi è però sempre 
una varietà unita del 4° ordine DÉI A ()). 
quei valori di k che sono = 
16. Nel caso di un sistema di due o più forme binarie si possono anche isti- 
tuire considerazioni analoghe (per mezzo degli invarianti, sia simultanei, sia anche 
di ciascuna forma separatamente); ci limiteremo tuttavia ad accennare come si pos- 
sano determinare in ogni caso tutte le curve e tutte le superficie invarianti rispetto 
al gruppo co proposto (cfr. n° 11), basandosi sul fatto che ogni punto di una curva 
unita deve essere a sua volta unito per un sottogruppo o? e ogni punto di una 
superficie unita per un sottogruppo (almeno) oo! contenuto in quello stesso gruppo 
proposto. 
Nel gruppo co’ di sostituzioni binarie (n° 11; eq. (2)): 
dove ad — be = 1, ogni sottogruppo co? lascia fisso un elemento à, che possiamo 
2 
sempre supporre sia £ = 0. Per ogni operazione di questo sottogruppo sarà allora 
5—0; e, perchè il corrispondente gruppo proiettivo oo? di S, ammetta qualche punto 
unito fisso esterno ai vari spazi uniti S, si può riconoscere facilmente (scrivendo 
le equazioni di quel gruppo) che almeno due indici ^; devono essere eguali fra loro. 
Viceversa, se cid avviene, e, più generalmente, se k (< m) indici M, Ae, h, sono 
eguali fra loro, saranno uniti per quel sottogruppo co? tutti i punti dell'S, , determi- 
nato dai punti uniti fissi che questo stesso gruppo ha sulle singole curve C^, Ch... 0%; 
e ciascuno di quei punti verrà portato dalle altre operazioni del gruppo oo? nei punti 
di una nuova curva razionale normale (unita) di ordine A = h; =... e 
Concludiamo perciò : 
C) On the Classification of Loci, * Phil. Trans. „, 1878; pp. 668-669. 
Ê) Cfr. ad es. Sarmon, Op. cit., p. 128. 
D Ibid., p. 129. Per r = 3 l'invariante biquadratico non è altro che il discriminante della forma 
(eubica). 
