21 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 207 
Un gruppo proiettivo semplice 00° di uno spazio S, non ammette in generale altre 
curve unite, all'infuori di quelle contenute negli spazi Sn,,... considerati da principio. 
Nel solo caso che k = 2 degli ordini h, di queste curve siano eguali fra loro vi à tutto 
un sistema di oo curve razionali normali di questo stesso ordine unite rispetto al 
gruppo medesimo. Queste curve sono direttrici della varietà M, (co! di spazi S}—ı) ge- 
nerata dalla proiettività che il nostro gruppo co determina (cfr. n° 11) fra quelle 
curve C" che si suppongono ora avere lo stesso ordine (!) 
17. La ricerca delle superficie unite (non contenute in spazi S») non presenta 
nemmeno difficoltà di sorta, benchè il risultato a cui si giunge sia meno semplice. 
Bisognerà considerare i vari sottogruppi co! del solito gruppo co’, distinguendo quelli 
parabolici (quelli cioò che sulle singole curve unite subordinano omografie paraboliche) 
dai rimanenti. Nel primo caso possiamo supporre &—0, e a=d (quindi entrambi 
= 1); avremo allora: 
Lo = To 
en = m + ez 
a, = % + 2em, cim, 
dh = In + bom, 3 E (3) Pv, 3 + ER + ca 
e le equazioni analoghe nelle y, 2,... Nel secondo caso potremo supporre sia 
1 è 
Wi WR 3 € allora avremo in generale: 
Ù 
Tp = ada, = ag, WII) 
e analogamente per le y, 2,... 
Nel primo caso sono uniti quei punti (e quelli soli) per cui sono in generale 
diverse da zero le coordinate £n, y» , 2»,,..., ed eguali a zero tutte le rimanenti ; 
vale a dire i punti delt 8, che congiunge i (soli) punti uniti che questo gruppo oo! 
ammette rispett. sulle m curve Oh, E questo ci permette di concludere: 
Stabilita fra le m curve C^ la proiettività di cui al n° 11, la varietà Mn luogo 
degli oo! spazi S,., che congiungono i vari gruppi di m punti omologhi sulle singole 
curve, è sempre luogo di co"— superficie unite rispetto al gruppo © proposto. — In 
particolare per » — 2 si ha una superficie unica, e precisamente una rigata razio- 
nale normale. 
La stessa varietà sarebbe anche luogo di 00”! curve unite, quando i numeri 
hi fossero tutti eguali fra loro (cfr. n° prec.). 
() A questo stesso risultato si potrebbe anche giungere con opportuni ragionamenti sintetici 
relativi all’incidenza di taluni spazi minori contenuti in Sr. 
