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18. Nel secondo caso converrà vedere quand'è che due o più coefficienti at, 
ossia due o più esponenti del tipo A, — 2p, risultano eguali fra loro. Di qui anzi- 
tutto una distinzione degli spazi Sj, in due gruppi, secondo che l'indice h; è pari o 
dispari, e la considerazione di due spazi indipendenti X, e Zu, uno dei quali 
conterrà gli eventuali punti uniti fissi del gruppo Co, e poi le coniche, le quartiche, ece. 
unite; l'altro, le rette, le cubiche, ecc. Ogni superficie unita non contenuta nella M, 
poc'anzi considerata, starà in X, o in X, , ,. 
Quanto alle curve di ordine pari, supposto che tali siano ad es. le O^, O^», Os, …, 
avremo un primo-gruppo di coordinate z, , y, , 2, ,... tali che 
hy — 9p zz h,—2Q—h,—98—...—0; 
e questo ci conduce ad enunciare quanto segue: 
Consideriamo le superficie luoghi rispett. delle intersezioni delle coppie di Sx, oscu- 
" 
latori alle singole curve C" di ordine pari (supposte in numero di m’). Anche queste 
superficie risulteranno riferite proiettivamente fra loro per effetto della proiettività sta- 
bilita fra le curve C^. La varietà Mm41, luogo degli oo spazi Sw—ı determinati dai 
singoli gruppi di punti omologhi sopra queste superficie, sarà pure luogo di co"—! su- 
perficie unite rispetto al gruppo proposto. 
Possiamo anche aggiungere : 
Queste superficie invarianti hanno a comune con ogni singolo Sw-ı generatore 
della Mw+ı uno o due punti, secondo che quei numeri h; che sono pari sono anche tutti 
(o nessuno) multipli di 4, oppure uno o più fra essi sono multipli di 4, mentre altri 
non lo sono. 
In quest'ultimo caso gli co? spazi Sw—ı determinano sopra ogni superficie unita 
un'involuzione di 2° grado che viene trasformata in sè dal gruppo o? che stiamo 
considerando. 
Se una delle h, pari è zero, la M,+1 diventa un cono. 
Altri gruppi di superficie unite si avranno ancora in ponendo A, — 2p = he — 29 
=..=+2, e così via; e analogamente, nell’altro dei due spazi X, ponendo h, — 2p— 
h,—2g—--1, ecc. In ogni singolo caso particolare si potrebbero determinare tutte 
queste superficie senza difficoltà. 
Osserveremo infine che, siccome le /i, non possono essere complessivamente (per 
uno spazio S, che non sia suddiviso in infiniti spazi minori uniti) in numero supe- 
r2... rdi 
2 
riore à ETAN 
questo limite, devono essere tutte eguali all'unità, fatta solo eccezione, se r è pari, 
per una di esse, che è nulla), cosi si vede facilmente che le superficie unite po- 
tranno tutt’ al più esaurire una varietà M,,;, vale a dire, per r > 3, non esauri- 
2 
, secondo che r è pari o dispari (e anzi, quando raggiungano 
ranno certo tutto lo spazio S,. Dunque: 
Per ogni gruppo proiettivo semplice oo di uno spazio qualunque S, (r > 4) esiste 
una ed una sola suddivisione dello spazio S, in oo varietà M; irreducibili invarianti ; 
e rispetto a una generica di queste Mz il gruppo stesso sarà sempre transitivo. (Può fare 
eccezione tuttavia il caso di uno spazio S, suddiviso in co" spazi S, uniti). 
Questo teorema è quasi evidente nel caso del gruppo 00° di una C” razionale nor- 
male; ma non lo è forse altrettanto nel caso in cui vi siano in S, spazi minori uniti. 
