23 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 209 
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I gruppi proiettivi semplici co? dello Spazio ordinario. 
19. Prima di occuparci in particolare delle varietà M, di S, con un gruppo non 
integrabile co (o anche più ampio) di trasformazioni proiettive in sé, fermiamoci un 
momento ad esaminare i gruppi proiettivi semplici oc? dello spazio ordinario, tanto 
per mostrare come se ne possano ritrovare per questa via i vari tipi già noti. Ne 
abbiamo precisamente tre tipi diversi (); 
1° Gruppo o? delle omografie che mutano in sè una data cubica sghemba. Questo 
gruppo è transitivo rispetto a un punto generico dello Spazio; la cubica stessa e la 
sviluppabile costituita dalle sue tangenti sono rispett. la sola curva e la sola super- 
ficie unita ; 
2° Gruppo 00° con una conica fissa e un punto fisso fuori del piano di questa 
conica, ossia gruppo delle rotazioni intorno o un punto (quando la conica fissa si faccia 
coincidere coll’assoluto dello spazio Euclideo). Questo gruppo è intransitivo, e tras- 
forma in sè tutto un fascio di quadriche mutuamente tangenti lungo quella certa 
conica (e in particolare tutto un sistema di sfere concentriche, se si tratta di rota- 
zioni intorno a un punto); 
3° Gruppo oo con una (sola) quadrica unita, sulla quale sono a lor volta unite 
anche tutte le rette di uno dei due sistemi. Anche questo gruppo è transitivo rispetto 
a un punto generico dello spazio; quella quadrica è la sola superficie unita, e le sole 
linee unite sono le generatrici di questa quadrica che appartengono al sistema testè 
considerato. 
20. Il primo di questi tre gruppi è evidentemente quello in cui si rispecchia 
(secondo il già cit. principio di trasporto di Hesse) la geometria proiettiva di una 
forma semplice, nella quale si assuma come elemento la terna di elementi nel senso 
ordinario (ossia la forma cubica binaria). — E al terzo caso corrisponde analitica- 
mente, nel senso del $ 3, il sistema di due forme lineari, il cui (unico) invariante 
simultaneo rappresenta appunto, eguagliato a zero, la (sola) quadrica unita. L'esi- 
Stenza delle co' rette unite sopra questa quadrica era prevista dal teorema del n° 16. 
Aggiungerd ancora che i due ultimi gruppi 00° (2° e 3°) sono quelli stessi a cui 
conduce la così detta rappresentazione canonica della Geométria proiettiva di una 
forma, semplice (*). Si rappresentino infatti le trasformazioni proiettive di una tal 
(*) Non tenendo conto del caso in cui siano uniti tutti i piani di un certo fascio (vale a dire 
la retta, asse del fascio medesimo, e tutti i punti di una seconda retta non incontrante quest’asse). 
C) Cfr. ad es. Enriques, Conferenze di Geometria (lez. litogr., Bologna, 1895); pp. 131-132. 
Serie IL Tom. XLVI. 5 
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