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forma come punti di uno spazio S,, assumendo p. e. come coordinate proiettive omo- 
genee di questi punti i coefficienti dell'equazione bilineare : 
aca! + bx + +d=0 (1); 
e si consideri nello spazio stesso Ss la trasformazione (proiettiva) T in cui al punto 
immagine di una proiettività variabile P (della forma semplice) corrisponde il punto 
immagine o della trasformata di P mediante una proiettività fissa Q, oppure della 
proiettività prodotto PQ (o QP). — Nell’un caso e nell’altro, facendo poi variare 
(nella forma semplice) la proiettività Q, avremo in S; oo’ trasformazioni (proiettive) T 
formanti un gruppo. Nel primo caso sarà il gruppo 2°, la conica fissa essendo data 
dalle involuzioni paraboliche (degeneri) e il punto fisso dalla trasformazione iden- 
tica (). Nel secondo caso avremo il gruppo 3°, la (sola) quadrica unita essendo data 
dalle omografie degeneri; sopra questa saranno fisse tutte le rette dell'uno o del- 
l’altro sistema, secondo che al punto immagine di P si fa corrispondere, per ogni 
proiettività Q, il punto immagine di PQ o di QP. 
Ritroviamo dunque che, all'infuori del piano, /e sole superficie dello spazio ordi- 
nario che ammettono un gruppo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè sono 
la sviluppabile circoscritta a una cubica sghemba, la quadrica, e il cono quadrico. Nel 
gruppo oo' di una quadrica non degenere sono contenuti anzi due diversi tipi di 
gruppi semplici oc^; uno si ottiene fissando un punto fuori della quadrica (e il suo 
piano polare); l'altro fissando tutte le rette di uno dei due sistemi (°). 
Nel piano, i soli gruppi proiettivi semplici 00° sono il gruppo delle omografie 
con una conica fissa e il gruppo lineare omogeneo speciale (con quelli ad esso proiet- 
tivamente equivalenti) (*). 
(1) Questa ste 
rappresentazione si trova in Sriemanos, Mémoire sur la représentation des homo- 
graphies binaires par des points de l'espac ^ Math. Ann. ,, Bd. XXII. Cfr. anche Cavrzv, On the 
correspondance of homographies and rotations, “ Math. Ann. ,, Bd. XV. 
DI Per questo gruppo OO? sono uniti il piano delle involuzioni (b — c = 0), il cono quadrico 
delle omografie paraboliche ([b + c — 4 ad — 0), la quadrica delle proiettività degeneri (ad — de = 0), 
e, più generalmente, tutte le quadriche del fascio [b — ef — k [ad — be] = 0 corrispondenti alle 
varie schiere di omografie di dato invariante assoluto. 
(3) In coordinate x, y sulla superficie (o sopra un piano rappresentativo di essa) questi due 
gruppi OO? potrebbero ritenersi generati rispettivamente dalle terne di trasformazioni infinitesime: 
pHa ap + yq, ep + y'a e p, p, sp (Las, Op. cit, vol. III, p. 203). 
(*) Cfr. anche le tabelle dei vari gruppi proiettivi del piano (Lr, Op. cit., vol. III, pp. 106-107; 
Lus-Souerrers, Op. cit., pp. 288-291). 
