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del fascio si spezza in due o più parti, distinte o coincidenti. Due punti generici di 
una varietà qualunque sono immagini di quaderne fra loro proiettive, e si corrispon- 
dono perciò in (almeno) quattro operazioni diverse del gruppo co. 
22. La quadrica î=0 è quella considerata già al n° 14 per r pari qualunque. 
Qui essa è anche luogo dei punti per cui gli S, osculatori condotti alla quartica 
toccano questa in punti formanti un gruppo equianarmonico; come pure in questo 
caso, e allora soltanto, avviene altresì che lo spazio S, dei quattro punti di contatto 
contiene il punto da cui si è partiti (ossia l'intersezione dei quattro S, osculatori). 
Di qui appunto il noto teorema (': Se una quartica di seconda specie di Ss ha à 
quattro piani osculatori stazionari (supposti distinti) tali che à relativi punti di contatto 
stiano in un piano, questi stessi punti formeranno sulla curva un gruppo equianarmo- 
nico, e viceversa. 
La varietà cubica j= 0 contiene la quartica fissa come curva doppia, ed è perciò 
il luogo delle corde di questa stessa curva. Essa fu studiata già dal Sig. SEGRE 
(^ Mem. Ace. di Torino ,, ser. 2*, t. XXXIX ; — n° 43, 44), alla cui Memoria riman- 
diamo per le ulteriori e interessanti sue proprietà. Gli spazi osculatori alla quartica 
condotti da un punto qualunque di questa varietà — ossia da un punto di una sua corda 
— la toccano in quattro punti formanti un gruppo armonico. 
Un'altra varietà, anche notevole, del nostro fascio si ha per k = à ; è la varietà 
luogo dei piani osculatori alla quartica, o varietà discriminante, perchè il primo membro 
della sua equazione à precisamente, a meno di fattori numerici, il discriminante della 
forma biquadratica considerata al n? prec. 
Si può anche riconoscere facilmente che nessuna varietà del fascio j? — ki? = 0, 
tranne la quadrica 1— 0, ammette più di oo trasformazioni proiettive in sè. La qua- 
drica i=0 ne ammette invece, in tutto, un gruppo co", che dal Sig. Lre fu dimo- 
strato essere semplice (°). 
23. Le superficie invarianti per questo gruppo co furono già determinate al 
n° 14 per il caso analogo in uno spazio qualunque S, (°). Sono due soltanto: 
1° La superficie luogo delle tangenti alla quartica, che è l'intersezione delle due 
varietà i— 0 e j=0, e quindi del 6° ordine. Essa è la polare reciproca della va- 
rietà discriminante rispetto alla quadrica à = 0; 
2° La superficie luogo delle intersezioni delle coppie dà piani osculatori alla quar- 
tica (doppia quindi per la varietà diseriminante), che è luogo dei punti immagini di 
forme biquadratiche con due radici doppie, e si rappresenta analiticamente scrivendo 
che (supposto, in generale, i, j= 0) i coefficienti della forma biquadratica xg sono 
ordinatamente proporzionali a quelli della relativa Hessiana (^). Questa superficie è 
us 
(!) Cfr. ad es. Franz Meyer, Apolaritüt und rationale Curven, Tübingen, 1883, p. 183. 
Ê) Theorie der Transformationsgruppen, vol. III, p. 357. 
DI Per questo caso (r = 4) esse compaiono anche nell'Op. cit. di Lin-Scherrers. 
D) Cuessca, Theorie der binüren algebruischen Formen, p. 168; GonpAs-KznsonrxsmEmzm, Vorle- 
sungen über Invariantentheorie, vol. II, p. 197. 
