27 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 213 
del 4° ordine, ed è la polare reciproca della varietà cubica j= 0 rispetto alla qua- 
drica i — 0 (Greng, 1. c.). Essa si può anche ottenere come proiezione della superficie 
di Veronese (F3 di Sj) ©) da un punto esterno a questa, e contiene perciò co" coniche, 
fra le quali è in particolar modo notevole la serie razionale co' d’indice due di quelle 
coniche che stanno nei piani osculatori alla quartica CL — Viceversa, si può anche 
dimostrare direttamente che la Fi di S; proiezione generale della superficie di Veronese 
(proiezione cioè di questa superficie da un punto non contenuto nel piano di alcuna 
sua conica) è trasformata in sé da un gruppo proiettivo co con una quartica unita, 
e deve appunto coincidere colla superficie testè considerata. 
Anche questa superficie di quarto ordine dello spazio S, appare dunque impor- 
tante e interessante, quasi quanto la superficie normale di cui è proiezione. Essa si 
è presentata anche al Sig. CAsrELNvovo nelle sue Ricerche di geometria della retta 
nello spazio a quattro dimensioni (^ Atti Ist. Ven. ,, ser. 7^, t. Il), come superficie 
singolare di una rete (sistema lineare 00°) di complessi lineari di rette. Possiamo 
ancora riassumerne le proprietà principali, d’altronde già note, dicendo: 
La superficie del quarto ordine luogo delle intersezioni delle coppie di piani oscu- 
latori a una quartica razionale normale di S, è anche superficie singolare per una rete 
di complessi lineari di rette, la cui varietà base è costituita dalle © trisecanti della 
superficie stessa D. Questa superficie è la proiezione più generale della F} di Veronese 
(normale per Sj), e si rappresenta analiticamente (in coordinate protettive omogenee) nel 
modo più semplice, scrivendo che i (cinque) coefficienti di una forma binaria biquadra- 
tica generale sono ordinatamente proporzionali a quelli della relativa Hessiana. 
24. Veniamo al secondo caso; e qui (in coordinate 41, %3,... 5) supponiamo 
unito lo spazio xs = 0, e, dentro di esso, la cubica : 
] 5244 Ws e | 
X wy dq 
di più, sia anche unito il punto fondamentale x —4 = x = x, = 0. Il nostro 
gruppo co’, entro lo spazio x; = 0, sarà allora rappresentato dalle equazioni: 
() * Mem. della R. Acc. dei Lincei ,; ser. 8*, vol. XIX (1883-1884). 
C) Questa serie OO! di coniche è anche unita rispetto al gruppo OO? proposto, sicchè la stessa 
F* di S, si trova nell'ultimo caso considerato al n*4 (p. 11) della mia Nota: Sulle superficie alge- 
briche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni proiettive in sè, * Rend. di Palermo ,, t. X, 
pp. 1 e seg. Di qui segue pure, per altra via, ch'essa potrà rappresentarsi sul piano in modo che 
a quella serie OO! d'indice due di coniche corrispondano le tangenti a una conica fissa del piano 
rappresentativo. 
D) Queste 00° rette sono rispettivamente immagini delle 00° involuzioni I} determinate dalle 
singole forme binarie biquadratiche colle rispettive Hessiane. Su ciascuna di esse risulta determi- 
nata una corrispondenza (2, 1) tra forme f e Hessiane H; le tre intersezioni della retta considerata 
colla superficie F* sono gli elementi uniti di questa corrispondenza; le due intersezioni colla qua- 
drica ¿ = 0 (forme equianarmoniche) si corrispondono in doppio modo. 
pero nn 
