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a" = a). o + 30b . m + Bab. + DP. x 
d'a = a*c . a + (ad + 2abe)e, + (2abd + Pe)xs + bd . x, 
a, — aè. ay + (bc? + 2acd)x, + (2bed + ad’)x,; + bd. x, 
d'a 38 0.2 + 36d t + 308. xs + dë. x, 
j 
dove a, 5, c, d sono i soliti parametri legati dalla relazione ad — be = 1. E a queste 
equazioni dovremo aggiungere, per lo spazio $;, ancora quest’altra : 
AE, 
Rispetto a questo gruppo sarà invariante il discriminante della forma cubica (nelle 
variabili &, &): 
oi. + än. SS Län. A8 + a. 
ossia : 
R = Bän ei — 4a — Ana — mai + Baia. 
Non muterà dunque, per una qualunque sostituzione del gruppo 00°, nessuna funzione 
(omogenea) del tipo R + kx? (k essendo un parametro arbitrario); e saranno perciò 
invarianti, rispetto al nostro gruppo proiettivo œœ, tutte le varietà del fascio : 
R + kr — 0. 
Queste varietà sono del 4° ordine e tutte irreducibili, all'infuori di quella che è 
costituita dallo spazio x; — 0 contato quattro volte. Questo stesso Spazio zy = 0 e 
il cono R=0 sono anche le sole varietà del fascio che ammettono più di co? tras- 
formazioni proiettive in sé. Il cono R=0 ne ammette precisamente co*, fra cui ch 
omologie. 
Le sole superficie unite rispetto allo stesso gruppo co sono la sviluppabile 
R=1=0, e il cono cubico normale che dal punto z; =...==%,=0 proietta la 
cubica fissa dello spazio «= 0. 
25. Supponiamo ora (3° caso) che siano uniti la retta Xe M0; è il 
piano z,— 4; = 0 colla conica x — 4, s= in esso contenuta. Il nostro gruppo 00° 
sarà rappresentato dalle equazioni : 
x = d. x I 2ab.2 + b. zs 
di = ax F bas 
a, = ac. + (ad + dela, + bd. o, 
ay = ct + das 
ai = C. Mn 2ed.2, + du 
