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e per le quali sono uniti tutti i punti della direttrice che si considera, e tutti quelli 
del piano doppio z; = x; = 0. Queste omografie rigate formano in tutto un gruppo 00°, 
che, all'infuori della trasformazione identica, ha a comune col gruppo da noi prima 
considerato la sola collineazione involutoria (2): 
Vs 
Il gruppo complessivo di tutte le trasformazioni proiettive della M? deve essere 
dunque almeno co? (se no due sottogruppi co? avrebbero certo infinite operazioni à 
comune). — Viceversa, se questo gruppo dipendesse da piü di sei parametri essen- 
ziali, esso dovrebbe contenere un sottogruppo almeno co' per il quale risultassero 
uniti tutti gli co! piani della varietà M3, e quindi tutti i punti del piano doppio 
(piano direttore); e un sottogruppo almeno co! per il quale risultassero uniti anche 
tutti i punti di un dato piano generatore qualunque, quindi tutti quelli dell S; deter- 
minato da quest’ultimo piano e dal piano direttore. Ma questo gruppo Co! si com- 
porrebbe allora di omologie; e ciò non è possibile se la M3 non è (come non à 
appunto in questo caso) un cono. 
Le equazioni del gruppo complessivo cf, coll'introduzione di due nuovi para- 
metri m, n, e tolta la restrizione ad — be — 1, possono assumere la forma : 
di = da + 2ab . t + P. w + 2m(am, + bas) 
dy = ac.m + (ad + be)o, + bd . a, + nas + bas) + mex, + das) 
d'y = C. ay + Bed a, F P.a + 2n (ev, + dx;) 
g'i = a2, + bas 
L'y = Ca + das. 
Il gruppo co? di omografie rigate si ha ponendo «=d; b —e—0. 
Non vi sono altre superficie invarianti rispetto al nostro gruppo co* semplice 
(m — n — 0; ad — be = 1), all'infuori del piano x = x — 0 e della rigata cubica 
R=Rs=0 (la quale ultima ammette co° trasformazioni proiettive in sè). E non 
vi sono quindi nemmeno (come non vi erano nei casi precedenti) varietà M, invarianti 
non contenute nel fascio Rî + kR = 0. 
26. Rimane il caso (4°) di due rette unite sghembe Le ss As use. e 
4,— 4,— v = 0) e di un punto unito fuori del loro S (zx, = x; =, = a, = 0). Fra 
le due rette unite risulterà determinata la solita proiettività (cfr. n° 11), e in questo 
() L'omografia più generale di questo gruppo OO? avrebbe per simbolo [(111) (11)] (Sears, 
“ Mem. della R. Acc. dei Lincei ,, ser. 3*, vol. XIX) oppure [21] (Prepenra, * Ann. di Mat. », Ber. 2°, 
vol. XVII) Per il sottogruppo invariante OO? gli stessi simboli diventerebbero rispett. [(221)] e [(21)]. 
