31 SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE CON UN GRUPPO CONTINUO NON INTEGRABILE, ECC. 217 
caso le congiungenti delle coppie di punti omologhi saranno generatrici di una qua- 
drica (di S) unita rispetto al gruppo co? che vogliamo considerare. Per questo stesso 
gruppo (cfr. n° 16) saranno anche unite tutte le singole rette (direttrici) della qua- 
drica appartenenti al sistema di quelle prime due. — Le equazioni del gruppo avranno 
in questo caso la forma: 
a, = ax + br, = at + ba; 
(ad — be= 1) 
ees op, dr, d'a — cm, + da, 
Saranno dunque invarianti tutte le quadriche del fascio : 
(21%, — Lots) + bag — 0 
la cui varietà base è la quadrica dello spazio z,— 0 (contata due volte): 
Lily — WX. = 
Oltre a questa superficie, sono uniti tutti i piani del cono quadrico 21 a4 — e X, = 0 
che appartengono al sistema di un =x=0 e nes in D (). Non vi sono però 
altre superficie unite, nè altre M; unite, all'infuori delle quadriche già considerate. 
27. Riassumendo dunque, possiamo coneludere che le superficie appartenenti allo 
spazio S4, le quali ammettono un gruppo non integrabile di trasformazioni proiettive 
in sà, sono le seguenti: 
1° Rigata (sviluppabile) del 6° ordine, luogo delle tangenti a una quartica ra- 
zionale normale ; 
2° Superficie del 4° ordine proiezione della Fi di Veronese (normale per S;) da 
un punto non contenuto nel piano di alcuna sua conica (non posto cioè sopra nes- 
suna corda di essa); 
l'una e l'altra con sole co? trasformazioni proiettive in sè; 
3° Rigata normale del 3° ordine, con oo* trasformazioni proiettive in sè (for- 
manti un gruppo simile a quello delle omografie piane con un punto unito fisso); 
4° Cono cubico normale, con co trasformazioni proiettive in sò (questo gruppo 
è simile a uno dei così detti gruppi di Jonquières ()). 
Le varietà a tre dimensioni, pure con un gruppo non integrabile di trasforma- 
zioni proiettive in sè, sono le seguenti (): 
(!) Questi CO! piani rientrano come caso particolare nelle superficie considerate in generale 
al n° 17. 
C) Cfr. Evriques, * Rend. R. Acc. dei Lincei » ser. 5*, vol. II, 1° sem., pp. 532-538. 
() Prescindiamo naturalmente dalla considerazione dello spazio S, (come pure del piano, della 
quadrica di Ss, ecc.), non appartenendo questi enti allo spazio S, 
Serre II. To. XGVI. E 
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