SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 5 
Si ces droites appartiennent à trois faisceaux homographiques, nous aurons 
la relation 
= Rne = S Toona à 4 41(4) 
En éliminant les x, les y et les z entre les équations (3) et (4), nous 
trouvons, conformément au principe de la théorie des faisceaux (*), le lieu 
des points triples de ces intersections. 
Nous avons ainsi l'équation 
(CM -p üo) By au Qa p + Aia y? + Aap + Uwy + Azap? a Ep aab? =0, . (5) 
équation d'une cubique passant par les centres des trois faisceaux. 
Taéorëme I. — Toute courbe du troisième ordre peut étre engendrée par 
les intersections des rayons homologues de trois faisceaux homologues, ayant 
leurs centres en trois points quelconques de la courbe. 
En représentant (*) encore par 
a —0, B—0, y —0, 
les côtés d’un triangle qui a ses trois sommets en trois points quelconques 
d’une cubique G;, l'équation de cette courbe peut s'écrire 
] 5) 
Aab + Ay + A i08” aus ABY + Azay’ + Aap? + 2A23aPy — 0. . , (6) 
Pour l'identifier avec l'équation (5), il suffira de poser 
Qu = Å + 0; ue = An, Qia = Ås, Gau = As; 
Qi = Aus das = Åj, on = Aass, (aa = Ajo — 0. 
La forme trilinéaire dépend, on le voit, d'une indéterminée 4. 
Par suite, c'est d'une infinité de manières que l’on peut engendrer une 
(+) F. Four, Bull. de l’Acud. roy. de Belg., 2° série, t. XLVI, p. 195; Bull. de Darboux, 
2e série, t. II, p. 278. ; 
(*) C. Le Paice, Sur la théorie des formes trilinéaires, C. R., t. XCII, p. 264. 
