6 SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 
cubique donnée par les intersections de trois faisceaux homographiques, 
ayant leurs centres en trois points donnés de celte courbe. 
Ceci va nous conduire à la démonstration de propriétés essentielles des 
cubiques. 
Si nous calculons le discriminant de la forme trilinéaire 
f= (As a CDEAUIEA + AYZ + AussliYerr + Auto + Ansty + Aya o17a 
+ Aoz + (Aus — 0)%2ÿ 222 » 
nous aurons 
aSk - o + 20° [AnA — As + AzA + AnA] + 40[ Asso 5 — AuoÂ 155À 25 | 
-+ [Afas + VALVE + Ass + Moss — DA F5 (A 95 15 + Asso + Aus o55) 
— DA AAA — 2A 55e oss — DA 10/55 À 115 À 295 
Re BP à à a eh. fn En 7 W) 
D'après cela, nous pouvons donner à 8 une infinité de valeurs qui rendent 
A négatif; alors les trois équations 
auront leurs racines réelles. 
Pour toutes ces valeurs de 9, qui n’annulent pas A, la forme trilinéaire peut 
s'écrire 
= AMW + A'UWW; 
ou, plus explicitement, 
E dite) (Ya — diya) (am dia) + da (2, — daa) (Ya — days) (21 — d'y). 
Nous nous occuperons tantôt de ce cas. 
Mais, de plus, nous pouvons choisir 9 de quatre manières distinctes, de 
telle sorte que A s’annule. 
Alors puisque, en général, aucun des covariants 2 ne s'évanouit identique- 
ment, ces trois covariants > sont des carrés, et la forme canonique (1) est 
impossible. 
