10 SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 
Donc, pour la racine double de l'équation A = 0, les trois côtés du triangle 
inscrit à la cubique concourent. Deux des quatre triangles coïncident et se 
réduisent à un point. 
Il n’en peut être ainsi que si la cubique a un point double. 
En conséquence, on retrouve ce théorème connu : 
Lorsque le discriminant de la cubique s’annule, la courbe possède un poini 
double. 
Si l'on a, à la fois, S = 0, T — 0, ou, ce qui revient au même, : = 0, 
j = 0, l'équation A = 0, possède, comme on le sait, un facteur triple. 
On démontrerait, par une méthode analogue à celle que nous venons 
d'employer, que, dans ce cas, la cubique possède un point de rebroussement. 
Comme nous le faisions observer plus haut, de ceci ressort le caractère 
d'invariance des fonctions S et T, car la propriété de posséder un point 
double ou un point de rebroussement se conserve dans la projection. 
On sait encore que la forme biquadratique A est le carré d'une expression 
quadratique lorsque A ne diffère de son hessien que par un facteur. 
Cette condition entraine les deux relations suivantes : 
AAA us — AAA = 0, l (10) 
Aus u55À 100 + AzA À 2055 + AAAA — Aas (A 19 155 À 295 agé À 199 115A 853) = \ 
Et l'on voit sans peine que, dans ce cas, la cubique se décompose en une 
droite et une conique. 
Il en est encore ainsi lorsqu'il est possible de déterminer une valeur de @ 
annulant identiquement un des covariants > : Z,, par exemple. 
Nous avons vu (*) que, si >, = 0, on a les conditions 
0 
Amt — Godin = 0, 
Agl — lala = l, 
(Ailo — Müa) (Minaa eme CIE TPM) = 0. 
(*) 4" partie, p. 40. 
f 
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