12 SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 
Ces deux équations peuvent être considérées comme caractérisant une homo- 
graphie du troisième ordre et du premier rang (”). 
On peut done énoncer ce théorème : 
Tuéorème IV. — Toute cubique peut étre engendrée par les intersections 
des rayons homologues d’une Hi. 
Nous pourrons exprimer deux des rapports à, # en fonction du troisième. 
En effet, en éliminant », par exemple, nous aurons : | 
A? (Get + Ga) + à | Auot” + (u + xx) Se d] vai (C Ps Clan) = 0, 
Si nous employons les coefficients de la cubique, cette équation devient 
2 (Anw? m Azt) A À [Ae + 2A + A TUR (Azze Eu Ass) = QE 
On en déduit 
ES Auot + DA + Aus + VP $ 
2 (An + Aus) i 
2 (Anu + Aus) FE Anal + 2A ose re Ass sit VP 
Ar + 2A + Ass + VP 2 (Aage UE Ass) 
y =s 
3 
P = Ainut + 4 (AA — AnzAa)p + (A Mas + DA nos — HA no os — AA usa) 
+ A (Asus — Anz) + AT ent re eue à store ON 
Cette forme P, égalée à zéro, donne un des groupes de ramification de (14). | 
On en déduit ce théorème : 
Par un point donné, sur une cubique, on peut, en général, mener quatre 
tangentes à la courbe. 
La forme P a les mêmes invariants que A. 
Comme on vient de le voir, les coordonnées de la cubique peuvent, en 
général, s'exprimer à l’aide de fonctions rationnelles de p et d'un radical 
carré portant sur P, expression du quatrième degré en p. 
La cubique la plus générale est donc du genre un. 
(*) 4"° partie, p. 15. Voir, sur le système de deux formes trilinéaires, un Mémoire de M. C. Le 
Paige, inséré aux Atti dell” Accademia de’ Nuovi Lincei, t. XXXV, 1882. 
