SUR LES COURBES DU TROISIÈME ‘ORDRE. 15 
Il wen est plus de même quand le discriminant de A, et par suite de P 
s’annule. 
En effet, si l’on a seulement 
2? 
ë — 6’ = 0, 
ou, à la fois, 
i= 0, j= 0, 
le radical ne portera plus que sur une expression quadratique de p. 
Nous avons vu, plus haut, que la courbe avait alors, soit un point double, 
soit un point de rebroussement. 
Par suite, 
Les cubiques à point double ou à point de rebroussement sont du genre zéro. 
De la signification géométrique de l'équation P—0, il résulte encore que, 
dans ces deux cas, les cubiques sont de la quatrième classe ou de la troisième. 
Bien que ces théorèmes soient connus, nous n’avons pas cru inutile de faire 
voir qu'ils se déduisent facilement de la méthode que nous avons employée. 
Ils découlent, en quelque sorte, immédiatement et nécessairement, de l’idée 
des faisceaux homographiques. 
Nous aurions pu augmenter le nombre de ces propositions connues, ou 
nouvelles, qui dérivent de cette notion fondamentale : notre but n'étant pas 
d'écrire un traité des cubiques, mais un simple mémoire sur ces courbes, il 
nous a paru suffisant d'indiquer les méthodes générales. 
Nous avons dit ailleurs (*) que notre méthode contient, comme cas parti- 
culier ou comme conséquence, les méthodes de CnasLes, de Grassmann et de 
SCHRÔTER. 
Cela est à peu près évident pour la première. En effet, si nous laissons fixe 
un rayon du premier faisceau, les deux autres appartenant à une H?, décrivent 
une conique. À chaque rayon du premier faisceau, correspond une conique, 
el vice versà. De plus, on s'aperçoit que les coniques correspondant aux 
différents rayons forment elles-mêmes un faisceau. 
Quant à la seconde méthode, rappelons d'abord brièvement en quoi elle 
consiste, 
(*) Bull. de l’ Acad., 3° série, t. I, p. 645. 
