SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 19 
Dans l’'involution déterminée par les cubiques C}, €}, C4, ete., sur la trans- 
versale 9X, au point 9 correspondent les groupes distincts, a, b; a, b’ : par 
suite, le point 9 fait partie de tous les ternes de l’involution et toute cubique 
de ce faisceau passe par 9. 
On sait que le théorème que nous venons d'établir peut se démontrer de 
bien des manières distinctes; nous avons employé la méthode précédente 
afin de déduire, autant que possible, toutes les propriétés fondamentales des 
cubiques, des théories de linvolution et de l’homographie. 
CoRoOLLAIRES. — Í. Si parmi les neuf points d'intersection de deux cubi- 
ques, il y en a six sur une conique, les trois autres sont sur une droite; ct 
réciproquement. 
lI. Si un triangle ABC rencontre une cubique en neuf points €, c’, cl'; 
a, a', a''; b, b', b'', situés sur les côtés AB, BC, CA, on a la relation 
Ac. Ac’. Ac”. Ba. Ba’. Ba’’.Cb.Cb'.Cb” 
Ab. Ab'. Ab”. Ca . Ca'. Ca”. Be . Bc’. Be” 
AE (Théor. de Cannor.) 
Menons les transversales ch’, c'b' c''b, qui coupent la cubique en trois 
nouveaux points æ, y, Z, situés en ligne droite, et BC en trois points 
æ', y', 2. 
mais 
UO AUS 
wS A E e E E E tre 7) 
où C; est l'élément du résultant calculé par lá méthode de Cauchy. 
Si pour une détermination 41, Ya l'équation (17) a plus de (n — 1) racines, cette équation doit 
être identique : par suite le résultant de az et de b} sera nul et lon aura 
a+ = pales +) 1)=0, 
ce qui démontre le théorème. 
