SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 33 
Mais, dans une involution FE, à un point fixe correspondent des couples de 
points appartenant à une If. 
Dans le cas actuel, cette involution quadratique est déterminée par les 
couples 4/41 ; 4AL4}. I suffira done de chercher le point 4'', homologue de 
4!, dans cette involution. 
Bien qu’il semble, à première vue, que l'on doive employer des construc- 
tions du second degré pour arriver à la détermination de 4//, nous allons voir 
qu'il n’en est rien. 
Nous pouvons toujours supposer que les points donnés soient transportés 
sur une conique, de telle sorte que nous ayons les points 
XXXs; YYY, Zatats, Ua. 
Menons les droites 4,%,; YıYa qui se coupent en B. 
La droite u,B déterminera , sur la conique, le point A. 
L;A et yA détermineront, par leurs intersections avec x,%,, y,y2, les 
points A’ et B’. 
De même, #,%, et 3,3, se coupent en un point B,. 
B,u, donne le point A, et les droites x;A,, z;A, donnent, par leurs inter- 
sections avec æ,%,, 2122, les points A!, Bi. 
Les deux droites A'B', A!B! se coupent en un point à. 
En joignant & au point %,, nous obtenons, sur la conique, le point u. 
En effet, nous voyons que, par la première partie de la construction, celle 
qui donne la droite A'B’, nous avons déterminé le couple complétant, avec u,, 
Pinvolution déterminée par les deux ternes æ,2,%, ; YiYaÿse 
Car les couples de côtés opposés du quadrangle ABA/B sont des coniques 
satisfaisant aux conditions du théorème (B). 
Nous pouvons remarquer, dans cette construction, que les couples de 
points VL; Yiÿa, 3123 peuvent être imaginaires, ou être donnés par couples, 
de telle sorte qu’il n’est pas nécessaire de les construire individuellement, 
c’est-à-dire de chercher les intersections de la droite x,x,, par exemple, avec 
la conique. 
Le couple u,u, pourrait même être imaginaire sans que la construction 
devienne impossible. 
Tome XLV. 5 
