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54 SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 
En effet, supposons que lon ait construit le groupe des éléments neutres, 
ou la droite qui, par ses intersections avec C,, détermine ce groupe : cette 
droite coupe la droite ww, en un point S; il suffira de mener, par S, une 
droite qui coupe la conique en deux points réels uiu, : ces deux points peuvent 
être substitués à w,u, pour la construction de tz. 
Pour le démontrer, observons que, à ttz, il correspond des couples de 
points u,a, ulu,, ete., en involution. Les éléments neutres en font néces- 
sairement partie, de telle sorte que ww, et ces deux points caractérisent 
l’involution. 
Quant à la construction du groupe neutre (ou hessien des points triples), 
on peut faire usage de la solution suivante, ou chercher, par exemple, les 
involutions 12, 1? correspondant à des points arbitraires p,, p; et construire 
le groupe commun à ces deux involutions. Toutes ces constructions sont 
d’ailleurs linéaires. 
En effet, dans la solution précédente, il suffit de s'arrêter à la détermination 
du point 6, relatif à un point «,. En déterminant de même un point p relatif à 
un autre point U, , la droite &p est la droite cherchée. 
Seconde solution. Nous avons vu que la relation d’homographie f= 0 peut 
s'écrire | 
[= MUU + ototauts = 0, i 
ou 
(æ — d) (Ya — à) (ri — M) + Aaw — d) (Ya — À) (a — à) = 0, 
les æ, y, z,-et les ð représentant des distances à une origine fixe sur une 
droite, par exemple. 
Par suite, si %1 Yo 213 Xi, Yi, Zi représentent deux groupes de l’homo- 
graphie, on a 
Cr a à) (dit) ES mi DC e (a — da ) 90 
S AT e aa arp ares S 
` 
d Si les points appartiennent à une J5, les trois covariants Z deviennent 
Li. identiques entre eux et au hessien des points triples (*). 
(*) 17° partie; p. 17. 
