56 SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 
Supposons que les points triples 4, la, ls, et les deux points donnés w,, 
ua Soient sur une conique C,. 
Construisons les tangentes à la conique en £,, ła, t5; ces trois langentes 
constituent un nouveau triangle T,T,T,. 
Les côtés opposés 44, TiTa; LL, TT; tsli, T,T,, des deux triangles 
se coupent en trois points «z, ai, «z; Situés sur une droite A. 
Cette droite n’est autre chose que la hessienne des points triples; en 
effet, toutes les coniques qui passent par «i, as, ls déterminent, sur GC, 
une l; (théor. A). 
Or, une droite quelconque, passant par f, constitue, avec À, une de ces 
coniques : par suite les deux intersections de L avec C, donnent bien les 
éléments neutres de l’involution. 
Pour compléter le terne, il suffit de faire passer une conique par 
3 y Ís, W, Ua; elle coupera C, en uz; ce problème est linéaire, car on 
connait déjà les trois points communs f;, Ui, Ua. 
La construction suivante mène d’ailleurs aisément à la détermination de uz. 
Joignons les points w,, +, par une droite qui coupe C, en p. 
La droite {,p coupe À en #, et ku, rencontre la conique au point cherché u,. 
En effet, appelons A,, h, les points d’intersection, réels ou imaginaires, 
de h avec C. 
Les trois ternes uhh; U, Pla, uuu, font partie de linvolution. Donc u; 
est homologue de u, dans l’involution quadratique déterminée par les deux 
groupes hha, pla 
La construction précédente repose sur la détermination du groupe neutre 
de l'involution ; mais cette détermination ne peut plus s'effectuer à l’aide des 
deux triangles llat, T,T,T;, lorsque deux des points triples l, tz, par 
exemple, sont imaginaires. 
Dans ce cas, on peut y substituer la détermination suivante de la droite Ah. 
Par {, menons la tangente à C,. Cette tangente coupe la droite taf, en 
un point S. 
Menons la seconde tangente S4/. 
Puis, par le même point S, une transversale $444. 
Les deux tangentes en {,{} se coupent en un point a situé sur 4, ti. 
