SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE. ` 45 
Parmi ces points, les trois £, ya, Z3 seront toujours réels. 
Les trois couples xi%, Yiÿo, ZiZa, intersections de A avec une conique, 
peuvent être imaginaires. 
Mais, comme nous l'avons fait observer à l'occasion du problème II, cette 
circonstance importe peu. 
En effet, il faut représenter les neuf points sur une conique C, quelconque. 
Voyons donc comment sera représenté, sur celte conique que nous pouvons 
choisir arbitrairement, et supposer donnée, par exemple, par cinq points 
À, B, C, D, E, un couple tel que x, 
Il faut trouver les intersections de A avec la conique (12345) (*). 
Menons les droites 12, 23; 14,2%; 15, 25 qui détermineront, sur A, des 
couples a) an Ê; B! 5 Ys y 
Si parmi les cinq points A, B, C, D, E, nous en choisissons un arbitraire- 
ment, il faudra déterminer les intersections de cette conique avec les droites 
Aa, Aa', ... Ay’, problèmes linéaires, puisque l’on connait une des intersec- 
lions À. 
Nous obtenons ainsi, sur la conique C, six nouveaux points p, p'; q, q'; 
r, r! qui définissent une homographie. 
Par des intersections de lignes droites, il sera possible de trouver la droite 
qui, par ses intersections avec C, représente les points doubles de cette 
homographie. 
Ces intersections représentent les intersections de A avec C. Elles peuvent 
être imaginaires, puisque, pour la solution du problème I, il nous suffit de 
connaitre la droite qui unit ces deux points. 
Nous n’entrerons pas dans le détail des modifications que cette construction 
peut présenter lorsqu'un certain nombre des points qui déterminent la 
cubique sont imaginaires, parce que ces questions touchent plutôt à la théorie 
des coniques. 
On aurait, par exemple, à résoudre des questions analogues à la 
suivante : 
(*) La solution de cette question est celle qui a été donnée par STEINER, Werke, I°% Band, 
S. 519. 
