4 SUR L’ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 
En effet, 
> A(y)dx 
T cos? x 
Or, 
cos’x[1 + tgx(Ay) | = 1 — e sin?x sin?y = cos y[1 + tgy(Ax)*]. 
Nous pouvons donc prendre, au lieu de l'équation (2), 
__ A(yx $ miaii 
cos*xj 1 + tg’ (4y)°] cos y[1 epy g 
0. 
Soient, d’après la formule (3) : 
tga —1gx(Ay), tgp = tgy (Ax); . 
et, par conséquent, en posant 
1 = esinte siny = L: 
d (Ay)dx Sing cosx sin y cos ydy 
La = —— — —- ) 
L f L(Ay) 
LE (Ax)dy , Sin x cos x sin y cos yda 
es L(Ax) F 
puis, en vertu des équations (4), (2) : 
da + dB = 0. 
(4) 
(6) 
(7) 
(8) 
L'intégrale cherchée est donc, indifféremment, « + 8 = const., ou 
tg (a + 8) = const. ; savoir : 
arc tg[tgæ (Ay)] + are tg[ tgy (Ax) |] = «, 
sinx cosy (Ay) + siny cosx (Ax) 
à ire e 
cosx cos y — sin x sin y (Ax) (Ay) ee) 
(A) 
(B) 
(*) Après avoir démontré cette formule, Legendre ajoute : « Si l’on prenait deux angles 
» auxiliaires «, 8, tels que 
tga = tg vAly), tgl —=tgyA(x), 
» il en résulterait 
K=&+P, 
» ce qui est un moyen de calculer aisément par les Tables de sinus. » Comment l’illustre auteur 
du Traité des fonctions elliptiques ne s'est-il pas aperçu que ces variables «, 8 réduisent l’équa- 
tion (1) à la forme (8) ? 
mener er nee ren en ne ren 
