4 SUR UN POINT DE LA THÉORIE 
Dirichlet, on le sait, a établi, d’une manière simple et rigoureuse que 
z A 2 (2e 2 
la série 
1 
3 ao + (a, cos% + bisinx) + (as cos 2x + ba sin 2æ) + +, . . . . (1) 
dans laquelle 
I AT (l a+r r 
a, —=— À flcosntdt, b, =- $ E O a E E E O 
Te FC 
m -7r 
a pour somme 
1 | 1 ; 
G —0)+ f(x + 0)] ou io r+0)+/f(r—0)], . . . (3) 
selon que æ est compris entre m et +r, ou égal à l’une de ces valeurs 
extrêmes. La fonction fæ est supposée vérifier les conditions de Dirichlet, 
c’est-à-dire qu'elle est finie et na qu’un nombre fini de discontinuités, de 
maxima et de minima, entre — x et + 7. 
On déduit aisément de ce premier résultat de Dirichlet la sommation de 
la série (1), dans le cas où 
{J s ae 4 (12 
an=; f fi eos nt dt, na- f M SNEON a e e a UC) 
Te Fe 
[A I 
c et g étant des limites finies quelconques. Cette somme est égale à celle 
d'un nombre fini d'expressions analogues à (3). 
Lorsque l’on veut étendre la nouvelle formule ainsi obtenue au cas où 
l’on a, ensemble ou séparément, g = — œ, c= œ, on reconnait bientôt qu’il 
se présente une difficulté spéciale qui ne permet pas d'arriver immédiatement 
à la sommation désirée. Dans le premier cas, quand les coefficients ont la 
forme (2), la différence :, entre l’une ou l'autre des expressions (3) et la 
somme des (n + 1) premiers termes de la série (4) est une quantité indé- 
finiment décroissante avec 4. Quand les coefficients ont la forme (4), la 
n 
différence analogue est de la forme 
EE den E E E A (5) 
k étant un nombre entier supérieur, au plus, de deux unités, au rapport 
de (c — g) à 2r, et en, eny Enpe En), élant encore infiniment petits en même 
