DES SÉRIES DE FOURIER. | 5 
temps que $. Quand g = — œ, ou c= œ, ou bien, à la fois, g = — œ, 
c= œ, on a k= œ; et la suite (5) est remplacée par une série dont la 
somme est fonction de n. Il est impossible de voir, dans ce cas, sans une 
discussion approfondie, si cette somme a encore pour limite 0, en même 
temps que À. 
L'objet de la présente Note est de faire cette discussion, dans un cas 
Particulier assez étendu. Nous nous servons, pour cela, de la méthode 
Primitive de Dirichlet, sans y faire intervenir le remarquable théorème de 
M. P. du Bois-Reymond, si utile dans toutes les autres recherches relatives 
aux séries trigonométriques. Comme application, nous démontrons une belle 
relation de la théorie des fonctions /héta, qu'il n’est pas facile d'établir 
autrement avec une entière rigueur (*). 
2. Résultats obtenus dans cette Note. Voici, en résumé, les deux propo- 
Sitions établies dans ce petit travail : 
I. On a 
se 4 
S f(x + nr) a” do + (& cos x + b, sin x) + (a, cos 2x + b, sin 2x) + --- 
D a 
ou 
4 1-00 1 +00 
a, —=— ftcosntdt, b, =- ft sin nt dt, 
Ta Te 
Žo -%0 
Moyennant les conditions suivantes : 1° les coefficients a,, b, sont finis: 
2° la fonction. 
my) = f(x + Irm + 24) + f(x + Irr + 2r — 21) 
est positive et décroissante quand » varie de O à 17, pour toute valeur de x 
() Cette relation a été donnée, pour la première fois, explicitement par Poisson , Mémoire 
sur la théorie des intégrales définies et sur la sommation des séries (suite) (t. XIL, 19° cahier 
du Journal de l'École polytechnique, 1823, pp. 404-509), p. 420. Caucuy, dans l’article inti- 
tulé Sur les fonctions réciproques (Exercices de Mathématiques, t. I, 1827, pp. 141-156), 
a 156, établit la même formule, en la déduisant d’une autre plus générale exposée par lui, 
dès 1817, dans le numéro d'août du Bulletin de la Société philomathique. Dès 1817 aussi, 
Cavcny avait prouvé la formule pour le cas particulier où z — 0. Les démonstrations de 
Poisson et de Cauchy donnent lieu à des objections analogues à celles que nous venons de 
are à la démonstration habituelle par les séries de Fourier. 
