DES SÉRIES DE FOURIER. 9 
Dans la première intégrale, sin (2n + 1)4 est positif ou nul; dans la 
deuxième, il est négatif ou nul; dans la troisième, il est de nouveau positif 
ou nul, etc. Quant au facteur ne : sin n, il n’est jamais négatif. Nous pou- 
vons donc écrire 
, = An — A, + Ao ani À; AN US (1 —)'A 
n? 
les quantités A,, A, A2, ..., À,, toutes positives, étant définies par les 
égalités 
7 ¡= (+ or Cp M dia s dy, iaa 2, ss n—1], 
sin y 
7 sin (2n + 4) 
s= f a(x) = ) dy. 
sin y 
Soient maintenant 
īri sin (2n + 1)y Fi F sin(2n -+ n(2n + 1)x i 
gr — dy, KE SER: a. en re go UV 
sin # sin # 
In- TE 
masin (2n - + LE 3 z sin sin (27 + 1) 
n= e o ar Ee SEd 
$ siny e sin y 
ar nT 
Inti IFI 
Ces quantités Aos Xis Xas + & SONL encore positives. De plus, elles forment 
une suite de grandeurs décroissantes, car les facteurs = sin (2n + 1)n, du 
numérateur, passent, dans chacune de ces intégrales, la dernière exceptée, 
par toutes les valeurs que prend le sinus d’un angle, quand cet angle varie 
de 0 à m. Le dénominateur sin n, au contraire, va sans cesse en croissant. 
Quant à 4, Cette quantité est moindre que 
nT- akg 
+1 sin (2n + 1}y 
Pom eur 
nr 
du 
laquelle, d’après un raisonnement analogue au précédent, est inférieure 
à æn; donc a, eSt aussi inférieur à «,_,. 
Tour XLV. b 
