DES SÉRIES DE FOURIER. 17 
On peut supposer X positif, puisque +2 (;) ne change pas quand on remplace X 
par — X. Soient 
X = pCh&, 1—pSha, 
ce qui donne 
X? — P — o,  2aXt— ap Sh2a, XSh2a’Xt — t Ch228 Xt — p Sh (2a°Xt — à). 
Supposons r assez grand pour que l’on ait 
et, par suite, 
Il viendra 
ou 7 EEDENI A Sh2« > 24, Sh(2a’Xt — a) > 0. 
La dérivée de la fonction (n), par rapport à z, est donc positive, si X? égale 
OU surpasse z + 7°; autrement dit, dans ces conditions }(4) décroit lorsque 
n Varie de O à 17. 
En général, la fonction e™®® vérifie donc l'une des conditions supposées 
au § I, pour l'existence du théorème qui y est démontré. Il est facile de 
Voir qu’il y a réellement des valeurs de x et de r pour lesquelles le contraire 
arrive, telles, par conséquent, que 2 (n) croit avec n ou décroit avec t. Cela 
arrive notamment pour X=0, puisque alors 
maA (y) = 2e, 
Mais cette circonstance n'a aucune influence sur la démonstration du théo- 
reme que nous avons en vue, comme nous l'avons remarqué à la fin du n° 8. 
10. Second lemme préliminaire. I. La série 
S eT e+ 2ra) 
ESI 
“St également convergente pour toute valeur de x +1 entre deux limites 
données, En effet, posons 
x + 2kr + t= u, 
Tome XLV. c 
