20 SUR UN POINT DE LA THÉORIE DES SÉRIES DE FOURIER. 
NOTE. 
Les inégalités relatives aux quantités À, «, À du n° 4 peuvent s'établir d’une 
manière 
générale, comme M. Catalan nous l’a fait remarquer, et elles conduisent au théorème 
suivant sur les suites finies ou infinies. 
Soient 29, %1, Za, Zz, elc., des quantités positives décroissantes, Ag, A4, A», 
el dos Mo ho, 5, etc., d’autres quantités positives telles que 
Ao ere A, Ao 
E A A A A De ho pa -pa Ag ObC 
Zo “y La 
Si l’on fait 
S = Ao — A; + A — A; +- +(—1)A,, 
S = æa — a + do — 03 o + (— Aa, 
on aura 
AnS L S < (0 — An) o + AnS. 
En effet : 1° Des inégalités (1) on déduit 
A5 2 1006 — A; > — Au, As >, — À; > — us, etc. 
puis, par addition , 
S > d (xo — ai) + àz (ao — az) + etc. 
Dans le second membre , tous les termes sont positifs; donc, à plus forte raison, 
S > A, [zo — à + 0 — 0; + etc.], 
u 
DAS: 
2 Les inégalités (1) donnent encore 
A aa EN AS Dos Aa L aða, — Az L — Mt, ete. 
puis, en ajoutant, 
S <L Ago — ha lay — aa) — da (as — a4) — etc. 
Dans le second membre , le premier terme seul est positif; de plus 
n Aa ta A a 4, + ete.] L ho (dy — 23) + A (a3 — 04) + etc. 
À 
Donc 
S <L Ato — À, lou — 09 + 43 — 0, + ete], 
ni 
ou enfin, 
S < (A5 — À,) do + ÀS 
La démonstration subsiste évidemment si n est infini et si S ets sont des séries 
gentes, 
Az, etc., 
(1) 
conver- 
