4 NOTES SUR LA THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
2. Changeons de notation; et soit 
OS URL Pate D Pro EAU A SE Pa a D te br LE) 
Prenons les trois fractions auxiliaires : 
Y = (gris gta es ns 
Z = (nyis Qnes es rs 
U = (gyi gras ce) Ae 
La valeur de y est une fraction ordinaire, fonction des indices g + 1, h. 
Soient donc 
N, 
h44, k JA jx 
1 = Cernana LA = —— u SE . . 0 . . 0 . 2 
4 Don Dirie Dix l ) ; l 
En vertu du Lemme : 
N,D, — DN, = (— 1} Dyas, n 
N,D, Lane DN, beso (— Dini 
ND, — DN, = (— 1 YH D e 
Multipliant par D,, D,, D,, et ajoutant, on trouve 
0 = DiD ppi, n — Diana + (— 1) D D, à 
ou 
De Diet ND D. 
De même, 
N O I,A n N,D, pig = E aN DA 
Les relations (A), (B) constituent le théorème de Kramp (*). 
Č) D’après cette notation, les réduites de +, répondant aux quotients 4,, qu, (a, seraient : 
Niy Nih A 
Die D DO 
Pour simplifier, nous les représenterons par 
Ng Na N; 
DocDD. 
kk 7 E , E g . ; Eo 
(”) Je ne connais ce théorème que par la mention qu’en a faite Lebesgue, dans le Journal 
de Mathématiques (t. V, p. 286). Il ne mwa pas été possible de consulter PArithmétique uni- 
verselle, de Kramp. La démonstration ci-dessus est beaucoup plus simple que celle qui a 
été insérée aux Nouvelles Annales. Enfin , le défaut de symétrie, de la formule rapportée par 
Lebesgue, a disparu. 
