ET SUR CERTAINES SÉRIES. 33 
IHI. Si les nombres 4, b, e sont entiers, l'égalité (K) peut être formulée 
ainsi : 
Le nombre entier 
ha [(a + co) a (a — oea 
est la somme de quatre carrés, dont deux sont égaux (*), et dont les deux 
autres sont divisibles par b?. 
48. TuéorèmE. Si trois nombres, a, b, c, satisfont à la relation (K), ces 
nombres mesurent les côtés d'un triangle rectangle; c'est-à-dire que 
here 
La relation (K) peut étre écrite ainsi : 
+ [la + ce! — (a — 0) F0 + [(a + c)” — (a — c)" P — 2a [a + 0” + (a —c)”-"]=0; 
Puis sous cette forme un peu plus simple : 
U [la + op- — (a — op PO — (ad e) [la + ot ae] 9 (a — 0. (74) 
Supposons que a, c soient donnés, et que a surpasse c. D’après le théo- 
reme de Descartes, l'équation a une seule racine positive ; savoir, b=a?— e. 
Le théorème est done démontré. 
49, REMARQUE. Pour diviser le premier membre par b? + c°—«?, on 
Peut le transformer ainsi : 
4 [oy — (a? — E + [a + CT — (a — oa (b? + — a’) + 4 (a?— è)" 
ae [a + e)" (a — 0)" An (a? — c?) — [a + + (a — c)” za (a — è) — 2 (a?— e)". 
©) Par 3 
| Par exemple, en prenant a = 5, b = 3, c = 4: 
ci | 20 (97 + 1) = 2. 6 560° + 2 022? + 2 5467: 
» plus Simplement, 
5 (97 + 1)= 2.5 280? + 1 0442 + 1 1752. 
Il est yisi i | 
L Visible que cette réduction a lieu dans tous les cas. Autrement dit : 
€ nombre entier 
a[(a + c)" + (a — c)?»—] 
esi | 
Somme de quatre carrés ; etc. 
Tome XLV. 
