ET SUR CERTAINES SÉRIES. 45 
le coefficient de x" égale le nombre des solutions entières (non négatives) de 
l'équation (95) ; 
2 Dans le développement, suivant les puissances entières et positives 
de x, de la série 
| x w L 
Ce oue ae A SE 
le coefficient de x" égale le nombre total des solutions entières (non négatives) 
des n +4 équations : 
4+ 2B=n, 2- Ip=n— 1, 3a + 4p=n— 2, .., (n+) (n+ 2)p=0. (96) 
63. TnéorÈme. Si lon considère les solutions entières (non négatives) de 
chacune des n + À équations (96), le nombre total de ces solutions est n +1. 
: , , RER -2 X 
En effet, dans le développement de —; = (1 — x)" * (92), le coeffi 
Gent de æ” est n + 1. 
64. Remarques. I. Ce coefficient égale le nombre des équations (96). 
II. Le nombre des solutions entières (non négatives) de l'équation (95) 
est, comme on sait, égal à l’un des deux quotients entiers de n—k +1 
Par (k + 1). Telle est done l'expression du coefficient de æ", dans le 
développement de la fraction 
xt! 
ECOLES 
HI. La dernière des équations (96) est 
(n + 1jo + (n + 2)8 = 0: 
elle admet une seule solution. Si Pon en fait abstraction, on peut rejeter les 
Valeurs de % supérieures à n — k + 1 (*). 
* 
I semble, d’après cela, que ce coefficient ne peut être évalué exactement. 
En effet, un, au moins, des termes ka, (k + 1)8, surpassera n — k + 1. 
ga 
